Melyik ez a szám? (Matek házi)

A kétjegyű számokat hamar le lehet tudni, köztük nincs ilyen.

Ha a háromjegyű számunk (1bc) alakú, akkor felírható 100+10b+c alakban. Ha az 1-est a végére írjuk, akkor (bc1) alakú szám lesz belőle, vagyis 100b+10c+1 alakban írható fel.

A feladat szerint ekkor az eredeti háromszorosát kapjuk, tehát

3*(100+10b+c) = 100b+10c+1, kibontjuk a zárójelet:

300+30b+3c = 100b+10c+1, kivonunk:

299 = 70b+7c

A jobb oldal biztosan osztható 7-tel, a bal nem, tehát ennek nem lesz megoldása úgy, hogy b és c is egész lenne.

Nézzük a négyjegyű esetet, ekkor (1bcd) és (bcd1) számokról van szó, ekkor

3*(1000+100b+10c+d) = 1000b+100c+10d+1, zárójelbontás:

3000+300b+30c+3d = 1000b+100c+10d+1, rendezünk:

2999 = 700b+70c+7d

A jobb oldal itt is osztható 7-tel, a bal meg nem, tehát a négyjegyű számok között sem lesz ilyen.

Azt a levezetésből lehet látni, hogy a jobb oldalon annyi ismeretlen lesz, ahány 9-es a bal oldalon van, és a bal oldalon mindig 299...9 alakú szám lesz. Már csak azt kell megnézni, hogy melyik ilyen alakú szám lesz osztható 7-tel, és erre a válasz a 299999, ebben öt darab 9-es van, tehát a keresett szám ötjegyű lesz.

Ha végigvezetjük azt, amit eddig, ezt az egyenletet kapjuk:

299999 = 70000b+7000c+700d+70e+7f, 7-tel való osztás után:

42857 = 10000b+1000c+100d+10e+f, ebből már látható, hogy b=4, c=2, d=8, e=5, f=7, tehát a keresett szám a 142857.

Kérdés, hogy van-e még ezen kívül másik ilyen szám. A válasz az, hogy igen; az összes olyan szám ilyen lesz, ahol az 142857 önmagát követi, tehát az 142857142857, az 142857142857142857, stb.

Ha a szám kétjegyű: legyen olyan h "1a" alakú, skkot ez 10+a-t jelent.

Akkor a csere után "a1" alakú szám 10a+1-et jelent.

3*(10+a)=10a+1

30+3a=10a+1

29=7a

Ennek tehát nincs kétjegyű megoldása.

Ha háromjegyű, "1ab" alakú, ami 100+10a+b.

Csere után: "ab1"=100a+10b+1

3*(100+10a+b)=100a+10b+1

300+30a+3b=100a+10b+1

299=70a+7b

299 nem osztható 7-tel, de a jobb oldal igen. nincs háromjegyű ilyen szám.

"1abc" = 1000+100a+10b+c

csere: "abc1" = 1000a+100b+10c+1

3*(1000+100a+10b+c)=1000a+100b+10c+1

3000+300a+30b+3c=1000a+100b+10c+1

2999=700a+70b+7c

2999 nem osztható 7-tel, nincs négyjegyű ilyen szám.

hasonlóan 5-jegyűre

29999=7000a+700b+70c+7d lenne, szintén nem jó.

6-jegyűre:

299999=70000a+7000b+700c+70d+7e, viszont ez már osztható 7-tel.

42857=10000a+1000b+100c+10d+e

Itt végiggondolható, hogy mivel a,b,c,d,e számjegyek, max 9 az értékük, így a=4; b=2; c=8; d=5; e=7 jön csak ki

142857*3=428571

Ha így folytatod

142857142857*3=428571428571

És valószínleg van még így több megoldás.

Ennél rövidebb megoldást én nem találok, kicsit szarakodós szerintem sajna :D

#!node.js

for (i=0;i<1000000000;i++) {

num1 = parseInt('1' + i);

num2 = parseInt(i + '1');

if (num1*3 == num2) {

console.log(num1 + ', ' + num2);

break;

}

}

Minek ez a hacacáré?

Az eredeti szám 3-szorosa 1-re végződik, tehát az utolsó jegye 7.

Akkor a szám háromszorosa 71-re végződik, de 2 átvitel van az utolsó jegynél, így az utolsó előtti jegy háromszorosa 5-re végződik, azaz az utolsó két jegye 57. stb inkább leírom a lépéseket, kisikolás szorzás szerint, addig kell csinálni, míg 1-es jegy nem jön:

xxxxxxxxxx * 3

xxxxxxxxx1

ezért előtte 7 van

xxxxxxxx7 * 3

xxxxxxx71

aztán

xxxxxxx57 * 3

xxxxxx571

aztán

xxxxxx857 * 3

xxxxx8571

aztán

xxxxx2857 * 3

xxxx28571

aztán

xxxx42857 * 3

xxx428571

aztán

142857 * 3

428571

Kész.