Matek feladat: Van-e olyan f függvény, amely minden valós számra értelmezve van, és minden valós értéket pontosan kétszer vesz fel?

Lehet, hogy túlbonyolítottam a feladatot, és van egyszerűbb megoldás is, azonban én ezt találtam;

Vegyük kiindulásnak a g(x)=sin(x) függvényt, amit a [0;2pi[ intervallumon értelmezünk. Ez a függvény a -1-et és az 1-et leszámítva minden értéket kétszer vesz fel. Most vegyünk még egy szinuszhullámot, amit a [2pi;4pi[ intervallumon értelmezünk, és a h(x)=sin(x)-2 függvénnyel állítjuk elő. Ha ennek a két függvénynek az unióját nézzük, akkor az 1-et és -3-at nem fogja felvenni kétszer, minden mást igen.

Ezt a lépegetős tologatást mindkét irányba végtelenszer megcsinálva egy olyan függvényt fogunk kapni, ami minden értéket pontosan kétszer vesz fel.

A függvény alakja a következő lesz;

f(x)=sin(x)-2n, ahol a függvény a [2npi;2(n+1)pi[ intervallumon van értelmezve és n tetszőleges egész szám. Tehát ha n=5, akkor az f függvény a sin(x)-10 lesz és a [10pi;12pi[ intervallumon értelmezzük.

Hogy van-e olyan függvény, ami még folytonos is lenne, azt, egyelőre, passzolom.

Ilyen fv. nem létezik, hogy miért, azt is nagyon egyszerű belátni:

Legyen f:t->f(t) értelmezve minden t eleme R-re. A kérdés feltétele szerint minden t1 valóshoz létezik pontosan egy t2, úgy hogy f(t1)=f(t2).

Ha pontosan egy (t1,t2) ilyen pár van az értelmezési tartományban (esetleg néhány pontban kivéve) akkor ez csak úgy lehet, hogy a [t1,t2] intervallumban f monoton (de nem szigorúan).

Látható, hogy ilyenkor léteznie kell legalább egy db t0 valósnak, amely helyen f-nek szélsőértéke van.

Nos ennek (ezeknek) a pontoknak nem lesz párjuk, mert ilyen pontok száma mindig páratlan lesz.

A feloldás az lehet, ha az értelmezési tartományból kivesszük ezeket a pontokat, de ez a feladatkiírással ellentétben áll.

A #1 válaszában megadott fv-nek is u.ez a baja...

#2 Badarság! Mégis mit vesz fel az kétszer?! Semmit!

Ekkora ostobaságot...

#3 A kérdező nem folytonos f függvényt kért, tehát két pont közötti monotonitást meg szélsőértékeket nem lehet csak így bedobni. Ennek ellenére nekem is az az érzésem, hogy nincs ilyen függvény, de ez a bizonyítás nem áll meg (amúgy vagy én értek félre valamit, vagy nem ezt akartad írni, de [t1,t2] intervallumon f(t1)=f(t2) esetén az egyetlen monoton függvény konstans, így t1,t2 nincsenek párban).

A kérdésre, ha vicces kedvemben vagyok: x>0-ra log(x), x<0-ra log(-x), x=0-ban pedig i. Mindenhol értelmezett, minden valós értéket pontosan kétszer vesz fel, i-t pedig egyszer :)

Én amúgy találtam egy ilyen függvényt, mindent teljesít amit a kérdező írt:

f(x) = 2x - alsó_egészrész(x)

Elnézést a borzalmas Paint-ábráért, ennyi tellett: [link]