Meg tudnátok oldani az alábbi feladatot? Egy szerencsejátékon 35 számból 5-öt sorsolnak. Egy szelvény akkor nyerő, ha legalább 3 találat van rajta. Mi a valószínüsége annak, hogy egy tetszőlegesen kiválasztott szelvény nyerő?

2-es; az általad leírtak szerint a valószínűség több lesz, mint 1.

Kérdező: az ilyen feladatoknál, a jobb érthetőség kedvéért, érdemes venni egy konkrét számsort; tegyük fel, hogy az 1;2;3;4;5 számokat húzták ki (mindegy, hogy melyik kombinációt választjuk, mivel, a közhiedelemmel ellentétben, mindegyik számsornak ugyanakkora a húzási esélye, és mivel mindegyiküknek ugyanakkora az esélye, ezért nem muszáj a kihúzott számok sorrendjével számolni).

Először koncentráljunk arra, hogy hány esetben lesz mind az 5 szám eltalálva; ez nem túl nehéz: 1 esetben.

Most nézzük a 4-találatos szelvények számát. Hány esetben találjuk el

-az 1;2;3;4-et, de az 5-öt nem? Mivel 30 olyan szám van ezeken kívül, ezért 30 esetben.

-az 1;2;3;5-öt, de a 4-et nem? Ugyanazon gondolatmenet szerint 30 lesz erre is a válasz.

-az 1;2;4;5-öt, de a 3-at nem? Szintén 30.

-az 1;3;4;5-öt? Erre is 30 lesz.

-a 2;3;4;5-öt, de az 1-et nem? Meglepő módon 30.

Tehát 30+30+30+30+30=150 esetben lesz 4-találatos szelvényünk.

3-találatos szelvények:

-az 1;2;3-at eltaláljuk, de a 4;5-öt nem: ebben az esetben 30*29-féleképpen választhatjuk ki a maradék két számot, a számok 2-féleképpen írhatóak fel egymás mellé, de nekünk csak az egyik sorrendre van szükségünk, így osztjuk a szorzatot 2-vel, tehát (30*29/2)=435-féleképpen lesz az 1;2;3 eltalálva

-az 1;2;4-et eltaláljuk, de a 3;5-öt nem: nem okozok nagy meglepetést azzal, hogy itt is 435-öt fogunk kapni.

-az 1;3;4-et eltaláljuk, de a 2;5-öt nem: 435 esetben.

-a 2;3;4-et eltaláljuk, de az 1;5-öt nem: 435 esetben.

-az 1;2;5-öt eltaláljuk, de a 3;4-et nem: 435 esetben.

-az 1;3;5-öt eltaláljuk, de a 2;4-et nem: 435 esetben.

-az 2;3;5-öt eltaláljuk, de a 1;4-et nem: 435 esetben.

-az 1;4;5-öt eltaláljuk, de a 2;3-at nem: 435 esetben

-a 2;4;5-öt eltaláljuk, de az 1;3-at nem: 435 esetben

-a 2;3;4-et eltaláljuk, de az 1;2-t nem: 435 esetben.

Összesen 10 esetet szedtünk össze, így 435+435+435+435+435+435+435+435+435+435=4350 esetben lesz 3-találatos szelvényünk.

A különböző esetekben számoltak összege adja a kedvező esetek számát, vagyis 1+150+4350=4501 esetben lesz nyerő szelvényünk.

Összes eset: 35 számból kell nekünk 5 úgy, hogy a sorrendjük nem számít, ez (35 alatt az 5)-féleképpen érhető el. Persze ez is kiszámolható úgy, hogy 35*34*33*32*31=38.955.840-féleképpen választható ki az 5 szám akkor, ha a sorrendjük számít, de ha nem, akkor osztunk 5!-sal, így 324.632 lesz az összes eset száma.

Valószínűség=kedvező/összes=4501/324.632=643/46.376=~0,0139=1,39%.

A fenti számolás azért működött úgy, hogy leszámoltunk, mert nem volt sok eset és szisztematikusan össze lehetett őket szedni. Ha ugyanezt akkor csinálnánk meg, hogyha 6 számot húznánk és háromtalálatosokat keresünk, akkor már 20 esetet kellene összeszedni, ami azért már nem lenne kellemes. Magát azt, hogy hány eset van a részeseteken belül, az fogja meghatározni, hogy a fixált számokból hányféleképpen lehet kiválasztani 3-at, erre az a válasz, hogy (5 alatt a 3), ami 10, tehát nekünk nem kell konkrétan összeszedni az összes képbejövő esetet, csupán a számukra vagyunk kíváncsiak, azért, mivel minden részesetben ugyanannyi az esetek száma (mindenhol 435 volt), és mivel a 435 is megadható binomiális alakban, ezért a háromtalálatosok száma megadható (5 alatt a 3)*(30 alatt a 2) alakban is, mint ahogyan az látható a 2-es válaszában, és ugyanez igaz a többi esetre is, bár azok ilyen módú kiszámolása inkább hasonlít az ágyúval való verébvadászatra.

Ha számolnánk a számok sorrendjével (és ez általánosságban is igaz), akkor a végeredmény ilyen alakú, de legalábbis ilyen alakra hozható lenne: (4501*5!)/(324.632*5!), és ez a tört 5!-sal gyönyörűen osztható lenne, ezzel megkapnánk ugyanazt a törtet.

2-es vagyok. Valóban elírtam. Ezért elnézést kérek.

A helyes megoldás:

(5 alatt 3)*(30 alatt 2)/(35 alatt 5) + (5 alatt 4)*(30 alatt 1)/(35 alatt 5) + (5 alatt 5)*(30 alatt 0)/(35 alatt 5)=4350/324632 + 150/324632 + 1/324632 = 4501/324632 =0,0139

Hipergeometrikus eloszlást használtam. Visszatevés nélküli mintavétel.