Egy számtani sorozat első tagja 2, differenciája 1. A sorozat első 85 tagja közül hányféleképpen lehet 5 különböző számot kiválasztani úgy, hogy a kiválasztott számok mértani sorozatot alkossanak?

Magyarul az a kérdés, hogy 2-től 86-ig hány számot lehet kiválasztani. Mivel nincsenek "lyukak" a számok között, ezért két szám szorzata vagy beleesik a 2-86-ig közötti számok halmazába, vagy kilóg.

Tudjuk, hogy ha egy mértani sorozat tagja a1, akkor tetszőleges tagját így kapjuk meg: an=a1*q^(n-1). Esetenként vizsgálódunk aszerint, hogy mi az első tagja a sorozatnak; először csak azzal foglalkozunk, amikor a kvóciens egész szám:

-ha az első tagnak a 2-t választjuk, akkor az ötödik tagnak azt kell tudnia, hogy legfeljebb 86 lehet, tehát:

86>=2*q^4, ennek megoldása ~2,56>=q, ami azt jelenti, hogy ha az első tag a 2, akkor a sorozat kvóciense legfeljebb 2 lehet, tehát ebben az esetben 1 sorozatot találtunk; 2,4,8,16,32

-ha az első tag 3, akkor:

86>=3*q^4, vagyis 2,31>=q, így itt is 1 sorozat lesz: 3,6,12,24,48

Persze arra sem nehéz rájönni, hogy ha a kvóciens egész, akkor csak 2 lehet ezek után, tehát a lehetséges sorozatok:

4,8,16,32,64

5,10,20,40,80

6,12,24,48,84

7,14,28,56,(102), itt az utolsó tag már túl nagy, így ez már nem jó. Így összesen 5 sorozatot találtunk.

Ha a kvóciens nem egész, akkor csak racionális lehet (elvégre ha irracionális számmal szorozzuk a 0-tól különböző egész számokat, akkor a végeredmény irracionális lesz). A törtekkel való szorzásra vonatkozó szabályok miatt olyan számokat kell keresnünk, melyek ugyanazzal a számmal 4-szer oszthatóak, érdemes felírni a küllönböző hatványokat:

2-hatványok: 1, 2, 4, 8, [16, 32, 64]

3-hatványok: 1, 3, 9, 27, [81]

4-hatványok: 1, 4, 16, 64, ebbe a sorozatba már nem esik megfelelő szám, így megtaláltuk az összes lehetséges jelöltet.

Ha a 2-hatványokkal foglalkozunk, akkor a kvócienst q/2 alakban keressük, de ugyanannak kell megvalósulnia, mint eddig, tehát:

-ha az első tag 16:

86>=16*(q/2)^4, ennek megoldása ~3,04>=q, tehát q helyére az 1;2;3 számok írhatóak. Mivel növekső sorozatokat keresünk, ezért az 1,2 megoldások kiesnek, így marad q=3 megoldás, ekkor a sorozat kvóciense 3/2, így a sorozat tagjai: 16, 24, 36, 54, 81

-ha az első tag 32:

86>=32*(q/2)^4, ennek megoldása ~2,56>=q, ebbe nem esik megfelelő szám, és értelemszerűen a 64-re sem fogunk megfelelő q-t kapni.

Nézzük az 1 darab 3-hatványt;

86>=81*(q/3)^4, erre ~3,26>=q eredményt kapjuk, amire nem kapunk 3-nál nagyobb megoldást.

Tehát összesen 6 mértani sorozat képezhető a számokból:

2,4,8,16,32

3,6,12,24,48

4,8,16,32,64

5,10,20,40,80

6,12,24,48,84

16,24,36,54,81

Ha egy számot többször is kiválaszthatunk, akkor ezekhez a megoldásokhoz még 85 megoldás csapódik, mivel ha a sorozat ugyanazokból a számokból épül fel, akkor is mértani sorozatot kapunk, mivel a szomszédos tagok hányadosa 1 (a 0,0,0,... sorozat esetén a kvóciens tetszőleges szám), tehát ezeket a sorozatokat kapjuk még:

2,2,2,2,2

3,3,3,3,3

4,4,4,4,4

.

.

.

86,86,86,86,86