Egy háromszög oldalai 4,5 és 7 cm hosszúak. Mekkora a beírt körének sugara? Légyszi valaki segítsen!

Ha a beírt kör középpontját összekötöd a csúcsokkal, akkor 3 kis háromszöget kapsz.

A háromszög területét felírhatjuk úgy, hogy

T = T1+T2+T3

Ahol T1, T2, T3 a három kis háromszög.

Egy kis háromszög területe az oldal * magasság/2

A beírt körnek az a tulajdonsága, hogy a sugár merőleges az oldalra, tehát a magasság=r.

T = a*r/2 + b*r/2 + c*r/2 = (a+b+c)/2 * r

Tehát r-et ki tudod számolni, ha megvan a háromszög területe.

T = (4+5+7)/2 * r = 16/2 * r = 8r

r = T/8

A háromszög területét a 3 oldalból többféleképpen ki lehet számolni.

Az egyik a Heron-képlet:

T = gyök(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))

s a félkerület, vagyis 8.

Ez a legegyszerűbb.

De lehet úgy is, hogy koszinusz-tétellel kiszámolod egy szögét. Majd hazsnálos a T = a*b*sin gamma/2 képletet.

Vagy lehet úgy is, hogy a 3 oldalból kiszámolod az egyik magasságot és T = a*ma/2

De ha beírod a Heron-képletbe az egy elég egyszerű út.

T = gyök(8*4*3*1) = gyök(96)

r = gyök(96)/8 = 4*gyök(6)/8 = gyök(6)/2