F (x) = (x^3-3x^2+4) / (x^2), f (x) =3 Hány megoldása van az egyenletnek?

Tehát, ha jól értem, akkor ez az egyenlet:

(x^3-3x^2+4) / (x^2) = 3, x nem lehet 0, egyébként pedig szorzunk vele:

x^3-3x^2+4 = 3x^2, kivonunk 3x^2-et:

x^3-6x^2+4 = 0

Egy harmadfokú polinomnak legfeljebb 3 valós megoldása lehet, komplexből pontosan 3 van, tehát az eredetire is ez a felállás. Ha csak a valós gyökökre vagyunk kíváncsiak, akkor deriváljuk a bal oldalon lévő polinomot: 3x^2-12x, és nézzük meg, hogy ez hol 0; x=0 és x=4 esetén, tehát az x^3-6x^2+4 polinomnak 2 helyen lehet szélsőértéke; az igazából minket nem érdekel, hogy valójában ezek szélsőértékhelyek-e, csupán csak az kellett, hogy hol 0 a derivált, mivel biztos, hogy az x<=0, a 0<=x<=4 és az x=>4 intervallumon a monotonitás nem fog változni (tehát vagy végig nő, vagy végig csökken).

Innentől már nincs más dolgunk, mint a fenti tartományokon megadni olyan intervallumokat, ahol felvesz legalább 1 pozitív és legalább 1 negatív értéket (ha tudunk olyat mondani, ahol 0-t vesz fel, az még jobb, de ez nem az a feladat). Például:

-ha x<=0, akkor x=-1 esetén -3-at, x=0 esetén 4-et vesz fel, tehát az egyik megoldás a [-1;0] intervallumon van.

-ha 0<=x<=4, akkor x=0 esetén 4-et, x=4 esetén -28-at vesz fel, így a második megoldás a [0;4] intervallumon lesz.

-ha x<=4, akkor x=4 esetén -28-at, x=6 esetén 4-et vesz fel, tehát a harmadik gyök a [4;6] intervallumon lesz.

3 gyököt vártunk, 3 gyököt találtunk, tehát az eredeti egyenletnek is 3 gyöke van.

f(x)=(x^3-3x^2+4)/(x^2)

f(x)=3

-> (x^3-3x^2+4)/(x^2) = 3 -> x^3-3x^2+4 = 3x^2 -> x^3-6x^2+4 = 0

Ez már a harmadfokú egyenlet megoldóképletével pontosan kiszámolható.

Mivel nem az a kérdés, hogy mik a megoldások, hanem csak az, hogy mennyi létezik, ezért megnézhetjük azt is, hogy hol 0 a függvény meredeksége. Ez deriválással kideríthető: 3x^2-12x, ennek két zérushelye van:

- 0: itt kiértékelve a harmadfokú függvény pozitív

- 4: itt kiértékelve a harmadfokú függvény negatív

Mivel a főegyüttható pozitív (tehát -∞-hez közelítve negatív, ∞-hez közelítve a függvényünknek pozitív értéke lesz), ezért három helyen metszi az x tengelyt: 0 alatt valahol, 0 és 4 között valahol és 4 fölött valahol.

Tehát az eredeti egyenletnek három megoldása van a valós számok halmazán. Pontosítva:

x_1 = -0,769

x_2 = 0,884

x_3 = 5,885