Hogy kell ennek a sorozatnak a határértékét meghatározni?

(n^2-n^3)^(1/3)-n=

n((1/n-1)^(1/3)-1)=

-n((1-1/n)^(1/3)+1)

lim((n^2-n^3)^(1/3)-n)=

lim(-n)*lim((1-1/n)^(1/3)+1)=

-végtelen*(lim((1-1/n)^(1/3))+1)=

-végtelen*(1+(lim(1-1/n))^(1/3))=

-végtelen*(1+(1-0)^(1/3))=

-végtelen

Azért okuljanak belőle mások is:

Az első akár még jó is lenne, ha nem lenne katasztrófálisan rossz...

A következő azonosságot érdemes tudni: a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2), esetünkben most a=(n^2-n^3)^(1/3) és b=n adott, tehát ha beszorozzuk ((n^2-n^3)^(1/3))^2-(n^2-n^3)^(1/3)*n+n^2-tel, akkor ((n^2-n^3)^(1/3))^3+n^3=n^2-n^3+n^3=n^2 lesz belőle. Ha viszont ezt megtesszük, azzal változik az értéke, így, hogy ez ne történjen meg, azzal el is osztjuk, amivel szoroztuk, tehát ezt a kifejezést kapjuk:

n^2/(((n^2-n^3)^(1/3))^2-(n^2-n^3)^(1/3)*n+n^2)

A törtet egyszerűsítjük n^2-tel:

1/(((n^2-n^3)^(1/3))^2/n^2-(n^2-n^3)^(1/3)/n+1)

Nézzük a nevezőben lévő tagokat:

((n^2-n^3)^(1/3))^2/n^2 = ((n^4-2n^5+n^6)^(1/3))/(n^6)^(1/3) = ((n^4-2n^5+n^6)/n^6)^(1/3) = (1/n^2-2/n+1)^(1/3), ez pedig 1-hez tart.

(n^2-n^3)^(1/3)/n = (n^2-n^3)^(1/3)/(n^3)^(1/3) = ((n^2-n^3)/(n^3))^(1/3) = (1/n-1)^(1/3), ez -1-hez tart.

Tehát a nevezőben ez található: 1-(-1)+1=1+1+1=3, tehát a sorozat 1/3-hoz tart a végtelenben.

Az előző válasz teljes mértékben helyes és a kiinduló ötlet nagyon jó, hogy szorozzuk be

[(n^2-n^3)^(2/3)-(n^2-n^3)^(1/3)*n+n^2] / [(n^2-n^3)^(2/3)-(n^2-n^3)^(1/3)*n+n^2]-vel.

Utána kicsit túl van bonyolítva az n^6-os tagokkal, de azért lepontozást nem ér. :)

Egy másik lehetőség, ha kiemelünk n-et:

n*(1/n-1)^1/3 + n = n*[(1/n-1)^1/3+1]

Ha most 1/n-et x-el helyettesítjük, akkor ezt kapjuk:

1/x*[(x-1)^1/3+1] = [(x-1)^1/3+1] / x

Erre hazsnálhatjuk a L'Hopital szabályt, mert 0/0 alakú.

De hangsúlyozom, hogy az előző megoldás szebb abban az értelemben, hogy elemibb.

A L'Hopitalos megoldás olyan szempontból érdekes, hogy megmagyarázza, hogy vajon miért lesz a határérték a mágikus 1/3.

Azaz a köbgyök deriválásánál a kiteveből együttható lesz.

Valóban, elnéztem egy előjelet.

Ifjutitan válaszában szereplő [(x-1)^1/3+1] / x határértéket x=0-ban L'Hospital szabály nélkül is ki lehet számolni a deriválás definíciójának felhasználásával. Ezt nem akartam leírni, mert az 1/n x-el történő helyettesítéséhez tudtommal valamilyen tétel(eke)t kell kihasználni, amit nem tudok megfogalmazni; de ha már valaki idáig elvitte, akkor tovább viszem:

[(x-1)^1/3+1]/x=

Számlálóból és nevezőből is 0-t kivonva:

[(x-1)^1/3+1-0]/(x-0)=

[{(x-1)^1/3+1}-{(0-1)^1/3+1}]/(x-0)=

Az átláthatóság kedvéért bevezetve f(x)=(x-1)^1/3+1

[f(x)-f(0)]/(x-0)

Ha x tart 0-hoz, akkor "látszik" hogy az az f(x) 0-ban vett deriváltja, tehát a sorozat ahoz az értékhez tart.

f'(x)=((x-1)^1/3+1)'=((x-1)^1/3)'=1/3*(x-1)^(-2/3)

f'(0)=1/3*(-1)^(2/3)=1/3*1=1/3

"az 1/n x-el történő helyettesítéséhez tudtommal valamilyen tétel(eke)t kell kihasználni"

Nem, változót helyettesíteni bármikor lehet.

Ez csak kényelmi megoldás.

Helyettesítés nélkül is folytatható:

n*[(1/n-1)^1/3+1] = [(1/n-1)^1/3+1] / (1/n)