Hányszor dobjak fel egy szabályos pénzérmét, ha az a célom, hogy a dobások között 90%-os valószínűséggel legyen fej?

Sokszor az a célravezető, ha megkeresett az esemény komplementerét.

P(A) = 1-P(A komplementer)

illetve átrendezve:

P(A komplementer) = 1-P(A)

"dobások között legyen fej"

Ennek az a komplementere, hogy a dobások között nincs fej.

Annak a valószínűsége, hogy n dobás között nincs fej, azaz mindig írást dosz

(1/2)^n

P(A komplementer) = 1-P(A) = 0,1 = (1/2)^n

Ha n=3, akkor P(A komplementer) = 0,125

Tehát legalább 4-et kell dobni.

Ha n=3,

Számolhatsz azzal is, hogy van közte fej, de az baromi bonyolult.

Ha n-szer dobsz, és van közte fej, az így fordulhat elő:

pontosan 1 fej van közte

pontosan 2 fej van közte

...

pontosan n fej van közte.

Ezeknek a valószínűségét külön-külön kell kiszámolnod és összeadnod.

P(A) = P(1 fej van) + P(2 fej van) + ... + P(n fej van)

Például a

P(1 fej van)= n*(1/2)^1*(1/2)^(n-1)

P(2 fej van)= (n alatt a 2)*(1/2)^2*(1/2)^(n-2)

stb.

Na most képzeld el, hogy mindet felírod és összeadod. Nem nagyon fog menni.

De ez a P(A) valószínűség.

Szerencsére van egy ilyen összefüggés:

P(A) = 1- P(A komplementer)

A komplementere most az, hogy n dobásból nincs fej.

Ha P(A komplementert) könnyebben tudod kiszámolni, akkor érdemes így átírni. Most ez a helyzet.

P(A komplementert) egyszerűen (1/2)^n

P(A) = 1-(1/2)^n

P(A)>=0,9 -et akarod kiszámolni.

1-(1/2)^n >=0,9

átrendezve:

0,1>=(1/2)^n

Ez n=4-től teljesül.