Hányféle tömör téglatestet rakhatunk ki 2009 egységkockából?

Magyarul az a kérdés, hogy a 2009 hányféleképpen írható fel 3 pozitív egész szám szorzataként.

Első körben triviális megoldás az 1*1*2009.

Második körben, ha csak 1 darab 1-es szorzó van, akkor az a kérdés, hogy a 2009 hányféleképpen írható fel 2 egész szám szorzataként, ehhez érdemes felírni prímtényezős alakba:

2009 = 7*7*41 = 7^2*41

Azt már elvileg tanultad, hogy egy szám osztóinak a számát úgy kapjuk meg, hogy a prímtényezők kitevőit 1-gyel növeljük, majd az így kapott számokat összeszorozzuk, így kapjuk azt, hogy 3*2=6 osztója van, viszont ebben benne van az 1 és a 2009 is, ezek nem kellenek (mivel ezeket már az előbb megnéztük), így 4 osztója van, ez azt jelenti, hogy 4-féleképpen írható fel két szám szorzataként a 2009, viszont ha a tényezők sorrendje nem számít, akkor csak 2 lehetőség van.

Harmadik eset, hogy nincs 1-es a tényezők között, ekkor 1 lehetőségünk van; az, amit fent láthatunk: 2009=7*7*41.

Tehát összesen 1+2+1=4-féleképpen építhető fel a téglatest. Ha viszont külön esetnek vesszük például az 1*1*2009-et és az 1*2009*1-et (tehát az elforgatott esetek külön-külön számolandóak), akkor

Első körben: 1*1*2009, 1*2009*1, 2009*1*1, ebből 3 van.

Második körben: azt kell tudni, hogy egy három, különböző tényezőjű szorzat tényezői 6-féleképpen írhatóak egymás mellé, például ha x;y;z számokat szorozzuk össze, akkor: x*y*z, x*z*y, y*x*z, y*z*x, z*x*y, z*y*x, más lehetőség nincs. Itt 2 szorzatot különböztettünk meg, szorzatonként így 6-6 lehetőség van, összesen 12.

Harmadik körben szintén 3 lehetőség van.

Összesen tehát 3+12+3=18.