Hogyan kell megoldani a harmadfokú egyenletet? x³ - 10x² + 32x - 32 = 0

Itt van leírva a harmadfokú egyenlet megoldása:

[link]

Meg fogod tudni oldani? Ha nem, szólj.

Huhh, a Cardano képlettel szívás az ilyeneket megoldani.

Érdemesebb kipróbálni először valami mást.

A bal oldal felírható a gyökökkel így:

(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃) = 0

hisz x₁, x₂, x₃ a megoldások, amikre a szorzat 0.

Kifejtve csak az utolsó, x-et nem tartalmazó tagot érdemes nézni: -x₁·x₂·x₃

Ez -32 kell legyen.

Vagyis 32 a gyökök szorzata.

Na most ha mázlink van, akkor valamelyik gyök egész szám lesz. Ami azt jelenti, hogy x₁ a 32 valamelyik osztója. Mivel 32 = 2⁵, ezért x₁ ilyen lehet: 1, 2, 4, 8, 16, 32, esetleg ugyanezek negatívban.

Ezeket aztán kipróbáljuk:

Ha x=1: 1 - 10 + 32 - 32 ≠ 0

Ha x=2: 8 - 40 + 64 - 32 = 0, mázlink van!!!

Nem is érdemes tovább nézni, pedig kijönnének az esetleges további gyökök is. Már tudjuk, hogy a polinom egyik tényezője az, hogy (x-2), csináljunk polinom osztást ezzel:

x³ - 10x² + 32x - 32 : x-2 = x² - 8x + 16

x³ - 2x²

     -8x² + 32x

     -8x² + 16x

                 16x - 32

És most már csak ezt a másodfokú egyenletet kell megoldani:

x² - 8x + 16 = 0

x₂₃ = (8 ± √(64 - 4·16))/2 = 4

Tehát 2 és 4 a megoldások, a 4 dupla gyök.