ABC derékszögű háromszögben N az AB átfogó felezőpontja, a CAB szög felezője E-ben metszi a BC oldalt. AE és CN metszéspontja M. Mekkorák a háromszög szögei, ha CE=EM?

Először is rajzolsz egy ábrát a megadottakkal.

Legyen ECMszög=d. Mivel CE=EM, ezért ECMháromszög egyenlő szárú, ahol CM az alap, tehát CMEszög=ECMszög=d. Most lépésenkánt el fogunk jutni az A csúcs szögéhez (Ł).

Mivel C-nél derékszög van, ezért ACMszög=90°-d.

Mivel E;M;A pontok egy egyenesre esnek, ezért EMAszög=180°, ezért CMAszög=180°-d. Tudjuk, hogy tetszőleges háromszögben a belső szögek összege 180°, ezért ACMszög+CMAszög+MACszög=180°, tehát

(90°-d)+(180°-d)+MACszög=180°, ebből

MACszög=-90+2d nagyságú.

Mivel AE az A csúcsnál lévő szög szögfelezője, ezért A-nál 2*(-90°+2d)=4d-180°-os szög található.

A B csúcs szögéhez 1 lépésben el lehet jutni; Thalesz tételéből tudjuk, hogy AN=BN=CN, tehát a BNCháromszög egyenlő szárú, ahol CB az alap, így mivel C-nél d szög volt, ezért B-nél is d szög lesz ebben a háromszögben.

Újból kihasználjuk, hogy a belső szögek összege 180°, így

ABCszög+BCAszög+CABszög=180°, tehát

d+90°+4d-180°=180°, ebből

d=54°, ebből a szögek nagysága:

ABCszög=54°

BCAszög=90°(ez adott volt)

CABszög=36°.

Máshogyan is meg lehet oldani, így ez csak egy megoldási mód.

Ez is egy megoldási mód:

[link]