Sorozatok határértéke. Hogyan álljak neki?

Bontsd két részre.

Lim(a*b) = Lim(a) * Lim(b)

Előbb vizsgáld a szorzat első két tagjának szorzatát.

Aztán a harmadikat, a hatványos részt.

A végén meg összeszorzod.

gondolom n a végtelenig megy

lim 1/gyök(n^2-3) lim (gyok(n^2+5 - gyok(4n^2-2)

n->∞

lim(2n^3+3/2n^3-4)^3n^3-4=

n->∞

lim 1/gyok(n^2-3) ((gyok(n^2+5)-gyok(4n^2-2))(gyok(n^2+5 + gyok(4n^2-2))/(gyok(n^2+5) + gyok(4n^2-2)) * lim(2n^3-4+7/2n^3-4)^3n^3-4=

lim 1/gyok(n^2-3) (n^2+5-4n^2+2)/(gyok(n^2+5) + gyok(4n^2-2))*lim(1+7/2n^3-4)^3n^3-4=

lim(-3n^2+7)/gyok(n^2-3)*(gyok(n^2+5)+gyok(4n^2-2))*lim((1+1/2n^3-4/7)^(2n^3-4)/7)^(7*(3n^3-4)/(2n^3-4))=

lim (n^2(-3+7/n^2))/n^2(gyok1+gyok1) *e^(lim(21n^3-28)/(2n^3-4))=

(-3+0)/(1+1) * e^(lim(n^3(21-28/n^3))/(n^3(2-4/n^3)))=

(-3)/2*e^((21-0)/(2-0))=

(-3)/2 * e^(21/2)

A -3/2 nem jó, ott -1-nek kell lennie.

Átírva:

lim (gyok(n^2+5) - gyok(4n^2-2)) / gyök(n^2-3)

A gyökön kívülre lehet hozni n-t:

pl.: gyok(n^2+5) = gyok( n^2*(1+5/n^2) ) = n*gyok(1+5/n^2)

Így:

lim (n*gyok(1+5/n^2) - n*gyok(4-2/n^2)) / (n*gyök(1-3/n^2)) =

n-nel lehet egyszerűsíteni:

= lim (gyok(1+5/n^2) - gyok(4-2/n^2)) / gyök(1-3/n^2) =

konstans/n^2 mindig 0-hoz tart, így:

= lim (gyok(1+0) - gyok(4-0)) / gyök(1-0) = (1-2)/1 = -1