Valaki segitene ebbe a matek feladatba?

Hát, ha megoldóképletet nem tanultatok, akkor bizony nehéz, de nem lehetetlen ilyen egyszerű feladatoknál, a kulcs a teljes négyzetté alakítás.

Lássuk az elsőt:

x^2 - 3 = 2*x

x^2 - 2*x - 3 = 0

Alakítsuk teljes négyzetté:

(x-1)^2 -1 - 3 = 0

(x-1)^2 = 4

Vonjunk gyököt:

(x-1) = +/- 2

a) eset: x-1=2, vagyis x=3

b) eset: x-1=-2, vagyis x=-1

És ez a két megoldás.

Második példa:

2*x^2 = 4*x + 23

2*x^2 - 4*x = 23

Teljes négyzetté alakítás, ahol először emeljünk ki 2-t:

2*(x^2 - 2*x) = 23

2*[(x-1)^2 - 1] = 23

2*(x-1)^2 - 2 = 23

2*(x-1)^2 = 25

(x-1)^2 = 25/2

Vonjunk gyököt:

x-1 = (+/- 5)/gyök2

a) eset: x = 5/gyök2 + 1 = [5*gyök2+2]/2 (megj.: közben gyöktelenítettünk is)

b) eset: x = -5/gyök2 + 1 = [-5*gyök2+2]/2 (meg.: közben gyöktelenítettünk is)

Harmadik példa:

-2*x - 3 = x^2

x^2 + 2*x = -3

Teljes négyzetté alakítás:

(x+1)^2 - 1 = -3

(x+1)^2 = -2

Gyökvonás után komplex számok halmazán tudnánk csak megoldani, de ha a megoldóképletet nem tanultátok még, akkor ezt sem, úgyhogy itt vehetjük úgy, hogy nincs megoldás.

Negyedik példa:

-x^2 + 10 = 3*x

x^2 + 3*x = 10

(x+ 3/2)^2 - 9/4 = 10

(x+ 3/2)^2 = 49/10

x + 3/2 = (+/- 7)/gyök10

a) eset: x = 7/gyök10 - 3/2 Ezt nem számolnám tovább, gyöktelenítsd és hozd közös nevezőre a kettőt.

b) eset: x = -7/gyök10 - 3/2 Szintén.

Más lehetőség, de ez nem mindig működik:

Ha találunk egy gyököt, akkor a másik a Viete-formulákkal, vagy polinom osztással kijön. Például az első egyenletnél "látszik", hogy az x=1 gyök, azaz mivel x1*x2=-c/a (a kanonikus alakot használva), így x2=3 adódik.

Racionális gyököket egyébkét is könnyű keresni, mert olyan +- p/q alakú számokat keresünk, ahol q|a és p|c, a és c szintén a kanonikus alak együtthatői, ugyanis mindne racionális gyök ilyen alakú.