Matek szorgalmi. Levezetné valaki?

Ha a kapott számokat összeadod, akkor az olyan, mintha az összes gondolt számot 4-szer összeadtad volna önmagával, tehát ha az összeget 4-gyel osztod, akkor a gondolt számok összegét kapod meg; ha az 5 gondolt szám a;b;c;d;e, akkor a+b+c+d+e=68/4=17.

Mivel két szám összege 0, ezért biztos, hogy két szám egymás ellentettje a számok között, máskülönben nem lehet az összegük 0. Legyen ez d és e, ekkor

a+b+c=17 marad.

Na most, azt tudjuk, hogy b+c értéke a fenti felsorolásban megvan. Az biztos, hogy nem 0, azt már kizártuk az előbb. Ezek alapján a lehetséges értékei:

15, 13, 11, 9, 8, 6, 4, 2

Persze ugyanez igaz az a+c és az a+b összegekre is, tehát a fenti felsorolásban biztos, hogy az a;b;c számok megtalálhatóak. Innen a következő a feladat: kiválasztani 3 számot úgy, hogy azok összege 17 legyen (mivel a+b+c=17).

A 15-ről hamar kiderül, hogy nem lehet, ugyanígy a 13 is hamar kiesik. A 11+4+2 kombó jó lesz nekünk, és a 9+6+2 összeg is 17-et ad ki. A két összegben a közös a 2, tehát a 2 biztosan szerepel a számok között, emellett a másik két szám vagy a 11 és a 4, vagy a 9 és a 6. Viszont, mivel ezek között nincs negatív szám, akkor a 2+valami=2 csak úgy jöhet ki, hogyha az a valami=0, az pedig vagy a d vagy az e szám, de mivel azok összege is 0, vagyis egymás ellentettjei, ezért mindkettő 0 lesz.

Tehát két megoldást is találtunk:

0;0;2;4;11

0;0;2;9;6

Ezekkel csak az a baj, hogy minden számnak kétszer kellene szerepelnie a fenti sorban, tehát ezek nem megoldások.

Mivel más megoldás nem jött ki, ezek pedig nem jók, ezért a feladatnak nincs megoldása.

Én is így indulnék el, ha jól volna leírva a feladat.

Ha az 5 számot minden párosításban összeadjuk, akkor nem 9, hanem 10 szám volna felsorolva.

Van megoldás.

A számok különbözőek, nagyság szerinti sorba rakva legyenek A,b,c,d,E

Az összegek közül a legkisebb a 0, a legnagyobb a 15. A legkisebb biztos, hogy a két legkisebb szám összege, tehát A+b=0. A legnagyobb pedig a két legnagyobb szám összege, d+E=15.

Nézzük A+c-t. Ennél csak A+b=0 lehet kisebb (pl. b+c már nagyobb, mert c>A), tehát A+c=2.

Ha meg c+E-t nézzük: annál csak d+E=15 lehet nagyobb, vagyis c+E=13.

Ezzel már lehet kezdeni valamit, megismétlem:

A+c=2

c+E=13

Ha kivonjuk a két egyenletet, kijön a legnagyobb és legkisebb különbsége: E-A=11

Vagyis ha a középső b,c,d számokhoz a legkisebb helyett a legnagyobbat adjuk hozzá, akkor 11-gyel nagyobbakat kapunk. Ha az összegeket nézzük, látjuk is, hogy a 2→13 mellett ott vannak még a 0→11 és 4→15 számok is. Vagyis A+b=0 miatt b+E=11 lesz, illetve d+E=15 miatt A+d=4.

Most már elég sok összeget be tudtunk azonosítani:

A+b, A+c, A+d ... b+E, c+E, d+E

  0,       2,     4,  ...,  11,   13,    15

csak a 6,8,9 maradtak ki. Ezek közül egyik lesz az A+E.

b+E = 11

A+E = 6,8,9 valamelyike

Ha összeadjuk ezt a két egyenletet, ezt kapjuk:

A+b+2E = 17,19,20 valamelyike.

Mivel A+b=0, a bal oldalon 2E lesz, ami páros. Ez csak úgy lehet, hogy E=10.

Ezek után a többi már egyértelmű:

d+E=15 → d=5

c+E=13 → c=3

b+E=11 → b=1

A+b=0 → A=-1

"A legkisebb biztos, hogy a két legkisebb szám összege"

Ez miért is annyira biztos?

Mertha azoknál is kisebb számokat adsz össze, akkor még kisebb összeget kapsz.

( a "+" két változós mûvelet mindkét változójában monoton nõ)

Másik megoldás #1 módszere szerint:

(Valójában csak a módszer elejét használom fel, mert onnantól kezdve, hogy "a fenti felsorolásban biztos, hogy az a;b;c számok megtalálhatóak", rossz a #1 módszer. Ugyanis ez a kitétel csak akkor lenne igaz, ha valamelyik szám a 0 lenne, de ezt nem feltételezhetjük.)

5 számnak (5 alatt 2) = 10-féle összege lehet, de itt csak 9 szerepel. Vagyis két összeg megegyezik, de nem tudjuk, melyik. Nevezzük X-nek.

(X = 0;2;4;6;8;9;11;13;15 valamelyike)

A 10 összeg összege ezek után 0+2+4+6+8+9+11+13+15+X = 68+X

Ez éppen a+b+c+d+e 4-szerese:

a+b+c+d+e = (68+X)/4 = 17 + X/4

Az egyik összeg 0, legyen ez d+e. [d és e egyébként a két legkisebb szám!] Egymás ellentetjei, az egyik pozitív, a másik negatív. Legyen mondjuk e negatív.

Marad a+b+c = 17 + X/4

Az a;b;c között kell szerepeljen az a páros is, aminek összege 15, hisz a két legnagyobb szám összege kell legyen a 15, tehát se d, se e nem lehet benne.

Legyen b+c=15

b és c tehát a két legnagyobb, a a középső, d és e pedig a két legkisebb szám, e negatív.

Kijött az, hogy a = 2 + X/4

Ez egész szám kell legyen, tehát X 4-gyel osztható. Ez az X lehetséges értékei közül csak 4-re és 8-ra igaz.

a) X = 8

      a = 2 + 8/2 = 4

Az e negatív, ezért a+e = 4+e kisebb 4-nél, ami csak a 2 lehet.

      e = -2

      d = 2

Ezek kiadják a 0;2;6 összegeket, de a 4 nem tud kijönni sehogy sem, mert b valamint c nagyobb 4-nel.

Vagyis X=8 nem lehet.

a) X = 4

      a = 2 + 4/2 = 3

Az e negatív, ezért a+e = 3+e kisebb 3-nál, ami csak a 2 lehet.

      e = -1

      d = 1

Ezek kiadják a 0, 2, 4 összegeket.

X=4 azt is jelenti, hogy a 4 kétféleképpen is ki kell jöjjön. Mivel a maradék számok (b és c) már mind nagyobbak 3-nál, ez csak úgy mehet, hogy az összegben az egyik szám b vagy c (legyen b), a másik pedig a negatív e:

4 = b + e = b - 1.

Vagyis b = 5, és akkor c = 10.

Tehát az 5 szám: -1, 1, 3, 5, 10

Az X=8-nál elkapkodtam azt, hogy "de a 4 nem tud kijönni sehogy sem". Ki tud jönni, hisz van negatív számunk:

4 = 6-2

Szóval mondjuk b=6

Viszont ekkor a+b = 4+6 = 10, de ilyen nincs az összegek között, szóval ellentmondás.