Matek szorgalmim, nagyon fontos?

Ha feltekerjük a szőnyeget, akkor jó közelítéssel egy hengert kapunk belőle (szerintem érthető, hogy nem henger lesz belőle, de a méretek miatt az "elcsúszás" elhanyagolható"). Azt kell meggondolni, hogy amikor a henger túlfordul egy kört, akkor a henger vastagsága (tehát átmérője) 10 mm-rel vastagszik. Az a kérdés, hányszor fordul körbe. Ezt lépésenként tudjuk kiszámolni (és megpróbáljuk általánosan, hátha látunk valamilyen szabályszerűséget); a henger kerülete d*pí=3*pí cm hosszú, ha ezt megtette, a henger átmérője 3,1*pí cm lesz, a szőnyegből marad 400-3*pí cm. A következő körben a henger kerülete 3,1*pí, a szőnyegből 400-3*pí-3,1*pí marad. Ezután a henger átmérő 3,2 cm lesz, kerülete 3,2*pí cm, a szőnyegből marad 400-3*pí-3,1*pí-3,2*pí

Látható, hogy a henger kerülete egy számtani sorozat szerint növekszik, ahol a(1)=3*pí, d=0,1*pí, n kör megtétele után az összegképlet alapján

S(n)=(2*a(1)+(n-1)*d)*n/2=(2*3*pí+(n-1)*0,1*pí)*n/2=

=(6+0,1*(n-1))*pí*n/2 cm-nyi szőnyeget tekerünk fel, az a kérdés, hogy milyen n-re lesz ez legalább 400 (mivel akkor tekertük fel teljesen a szőnyeget:

400<=(6+0,1*(n-1))*pí*n/2

Ez elemi módszerekkel könnyen kiszámolható, ezt én megspórolom, és a WolframAlphára bízom:

[link]

(Ügyeljük arra, hogy az angolszász jelölésrendszerre van állítva, ott viszont tizedesvessző helyett tizedespont van.)

Értelemszerűen nekünk a pozitív megoldás szükséges, így n>=28,9528, tehát n=29 lesz a megoldás; ezt úgy kell értelmezni, hogy 28 teljes kört tudunk megtenni, és belekezdünk a 29.-be. De mivel azt is be kell kötöznünk a zsineggel, ezért ezzel az átmérőnövekedéssel kell számolnunk.

Ahogy a kerület is számtani sorozatként nőtt, úgy az átmérő is, viszont ott d=0,1. Tudjuk, hogy

b(n)=b(1)+(n-1)*d, itt n=29, így

b(29)=3+(29-1)*0,1=5,8 cm, ekkora lesz a henger átmérője, így kerülete 5,8*pí=~18,22128 cm. Tehát az 50 cm-es zsineggel akár kétszer is átköthetjük.

Ha nagyon fontos, miért nem veszel egy 4m hosszú, 5mm vastag anyagot és tekered fel? (a szélessége mindegy is)

És akkor prezentálni tudod hogy át lehet-e kötözni vagy sem.

Másik ötlet: nézzük az ábrát a hengerre merőleges síkban!

> T_s = 4000mm*5mm = 20.000mm^2

területű a felcsavaratlan szőnyeg, ennyi lesz a felcsavart is (valójában ennél azért jóval kevesebb). A kimaradó rész

> T_h = pi*15*15 = 706 mm^2

területű, mi alapján a felcsavart rész sugarára

> R = sqrt(20.700/pi) = 81 mm adódik.

Ennek kerülete

> K = 2*81*pi = 509 mm

Tehát kerekítési pontosságig éppen 50cm a szőnyeg kerülete. Mivel a terület összemegy gyűrődéskor, illetve még jól passzírozom is + a kötél alapból belevág (aki rendszeresen szokott sátrat, hálózsákot, tréningszivacsot csavarni pl jómagam), még a csomó is kényelmesen elfér rajta.

Na jó, egyáltalán nem biztos hogy az így kiszámolt terület több, mint a valódi.

Ezzel ekvivalens az, hogy azt a közelítést alkalmazzuk-e n=1 feltekerés esetén a feltekert rész hosszára hogy 2*pi*3cm, vagy azt a közelítést hogy 2*pi*(3.5cm), azaz a szőnyeg hosszára a nagyobb vagy a kisebb hosszát vesszük.