Pont tükrözése egyenesre, Pont [3, -1,4], egyenes [1t-3;9t-4;-9t+9] Ponttükrözése síkra, Pont [3;-1;4] sík [1x+3y-2z=0] Hogyan kell?

Egyenesre például úgy, hogy kiszámítod, hogy az egyenes melyik pontjához van legközelebb; a távolságképlet szerint a pont távolsága az egyenes pontjaitól

gyök( (3-(t-3))^2 + (-1-(9t-4))^2 + (4-(-9t+9))^2 ) =

= gyök( (6-t)^2 + (3-9t)^2 + (-5+9t)^2 ) =

= gyök( 36-12t+t^2 + 9-54t+81t^2 + 25-90t+81t^2 ) =

= gyök( 70-156t+163t^2 )

Amilyen t-re ennek minimuma van, arra a t-re kapjuk meg a pont és az egyenes távolságát, ezt több módon ki tudjuk számolni, a legegyszerűbb deriválással:

(70-156t+163t^2)'=-156+326t, ahol ez 0, ott lesz minimum:

-156+326t=0 -> t=78/163, ezzel az

(78/163-3 ; 9*78/163-4; -9*78/163+9) ponthoz jutunk. Ha az adott pont A, a kapott pont B, akkor kiszámítod az AB vektort, majd ennek a kétszeresének koordinátáit hozzáadod az A pont koordinátáihoz, ezzel kapod meg az A' pontot.

A másodiknál ismerjük a sík normálvektorát: (1;3;-2), ennek c-szeresével eltolva a sík pontjait, a (c+x;c+3y;c-2z) pontokat kapjuk. Olyan c-re van szükségünk, hogy az adott pontot kapjuk, vagyis

c+x=3

c+3y=-1

c-2z=4, valamint azt is tudjuk, hogy

x+3y-2z=0, az adott sík egyenlete. Az ismeretleneket az első három egyenletből c függvényében meg tudjuk adni:

x=3-c, y=(-1-c)/3, z=(c-4)/2, ezeket beírjuk a harmadik egyenletbe:

3-c-1-c-c+4=0

-3c=-6

c=2, tehát az adott síkról keresett pont koordinátái: x=3-2=1, y=(-1-2)/3=-1, z=(2-4)/2=-1, tehát az (1;-1;-1) pont. Ugyanaz a történet, mint az előző feladatnál: ha az adott pont A, a kapott pont B, akkor felírod az AB vektort, majd annak a kétszeresének koordinátáit hozzáadod az A pont koordinátáihoz, ezzel megkapod a tükörképet, vagyis A' pontot.

Ha valami nem világos, kérdezz!