Kiosztunk n darab különböző könyvet k darab lány között. (Minden kiosztás egyenlően valószínű. ) Mennyi a valószínűsége, hogy pont r kislány nem kap könyvet?

Vagyis pontosan k-r lány kap könyvet.

Természetesen k > r és k-r ≤ n, egyébként 0 a valószínűség.

Legyen a ξ valószínűségi változó az, hogy hány lány KAP könyvet.

P(ξ = k-r) = P(ξ ≤ k-r) - P(ξ ≤ k-r-1)

Azt pedig, hogy mennyi a P(ξ ≤ x) valószínűség, nem túl bonyolult kiszámolni:

Az első könyvet x/k valószínűséggel kapja olyan lány, aki az x lány között van. Az összes n könyvnél ez (x/k)ⁿ.

Azt hiszem, nem jó a vége. Figyelembe kell venni bizonyára, hogy (k alatt x) féleképpen lehet kiválasztani az lányt.

Most nincs időm rajta tovább gondolkodni...

Erre a típusra a szita-módszert lehet/szokás használni. Nem tudok arról, hogy zárt alakra hozható lenne a kifejezés (persze kinek mi a zárt), szóval addig jutunk el, hogy kapunk egy ronda szummát, amit a gép kiszámol.

Arra hajazunk, amit 1. válaszoló is elkezdett, hogy azt tudjuk, hogy mi a valószínűsége annak, hogy j darab konkrét lány nem kap könyvet (de akár több is nem kaphat), és ebből fogjuk kikombinálni azt a valószínűséget, amikor pontosan r lány nem kap könyvet.

Legyen A_i az az esemény, hogy az i. lány nem kap könyvet (de a többiek kaphatnak. Pl A_i ∩ A_j az az esemény, hogy ők ketten nem kapnak).

Ezeket Venne-diagramoknak képzelve: arra vagyunk kíváncsiak, hogy mi az esélye a pontosan r-szeresen lefedett részeknek.

[link]

(2. feladat) jelöléseit és a

[link]

(7.feladat) állításait fogjuk felhasználni.

2:

> A_I : az i \in I indexhalmaz sorszámú lányok nem kapnak könyvet

> P(A_I) = (k-I/k)^n

(|I| darab lányon kívül egyenletes a könyvek eloszlása)

> σ_j = binom(k,j) * (k-j/k)^n

(minden j elemszámú I indexhalmazra összegezzük ugyanazt)

7:

a képlet pontosan q=r darab lányra

P() = sum_{j=q}^n*(-1)^(j+q)*binom(j,q)*binom(k,j)*(k-j/k)^n

És itt hátradőlünk.

Le is ellenőrizzük magunkat.

n = 10,

k = 10,

r = 0, 9, 10 esetben a képlet által szolgáltatott valószínűségek:

r=0

googl/fdIAwa

= 0.00036288

= 10! / 10^10 (amit vártunk)

r=9

googl/qcBTNP

= 10/10^10

r=10

googl/QmAf0H

= 0

r=0-ra ez a helyes szumma:

googl/5haf4L

(elírtam, de az eredmény legalább ugyanaz)