A derivált miért csak nyÍlt intervallumban van értelmezve?

1. Mert zárt intervallum végpontjaiban nem értelmes a derivált fogalma. A végpontokban csak bal- és jobboldali derivált van.

2. Egy pont környezetei eleve nyílt intervallumként vannak definiálva.

A minimumhoz és a maximumhoz ennek nincs köze. A zárt intervallumban értelmezett függvénynél persze lehet, hogy valamelyik végpont adja a szélsőértéket. De itt a derivált többnyire nem 0.

Ha nekem most kéne definiálnom, valahogy úgy nézne ki a feltétel, hogy

>f: W \subset R \to R

függvény egy w \in W helyen vett deriváltjáról akkor beszélhetünk, ha a w pont torlódási pontja a W halmaznak. (És ilyenkor f'(w) megegyezik a különbségi hányadosok limeszével, amennyiben létezik)

Hirtelen semmit nem tudok mondani, ami azt indokolná hogy legyen értelmes (értelmezett) a függvény egy nyílt környezetben.

Ahogy nézem, mások sem:

[link]

Ettől függetlenül a "kincstári" definíció mindenhol az, hogy legyen egy nyílt környezetben értelmes.

(+ feliratkozom a kommentekre, hátha valaki tud valamit amit én nem/nem jutott eszembe)

@béla:

1) ez a kérdés

2) a környezet úgy van definiálva, hogy olyan halmaz, amely tartalmaz az adott pont körüli nyílt halmazt. Tehát a környezet nem feltétlenül nyílt.

Meg lehet mutatni azonban, hogy amennyiben a pontbeli differenciálhatóságot környezettel definiáljuk, akkor azok a halmazok, amelyeknek minden pontjukhoz tartalmaznak környezetet, éppen a nyílt halmazok.

De semmikép nem úgy van definiálva, hogy nyílt intervallum. (mindenesetre szép próbálozás volt)