Mi lesz ennek a kifejezesnek a hatarerteke?

WolframAlpha segít:

[link]

[(9n+5)/(9n-10)]^2n =

[(9n-10+15)/(9n-10)]^2n =

[1 + 15/(9n-10)]^2n =

[1 + 5/(3(n-10/9))]^2n = e^(10/3)

Namármost, itt kiegészítés kell, hogy miért is:

lim [(1 + 1/n)^n] = e

lim [(1 + 2/n)^n] = e^2

lim [(1 + 1/n)^2n] = e^2

lim [(1 + 2/n)^2n] = e^(2*2) = e^4

lim [(1 + 1/(2n))^n] = e^(1/2)

lim [(1 + 1/(n-konstans)^n] = e

Ezek alapján pedig ugye a feladat idáig redukálódott:

[1 + 5/(3(n-10/9))]^2n = e^[(5*2)/3] = e^(10/3)

(9n+5)/(9n-10)

= (9n-10+15)/(9n-10)

= 1 + 15/(9n-10)

= 1 + (15/9) / (n - 10/9)

Ennek a 2n-edik hatványa, ahol 2n = 2(n-10/9) + 20/9:

(1 + (15/9) / (n - 10/9) )^(2(n-10/9) + 20/9)

= (1 + (15/9) / (n - 10/9) )^(20/9) · (1 + (15/9) / (n - 10/9) )^(2(n-10/9))

Az első tényezőnek a határértéke 1, a másodiknak pedig ugyanaz, mint (x=n-10/9 helyettesítéssel) ennek:

(1 + (15/9) / x) ^ (2x)

= ((1 + (15/9) / x) ^ x)^2

ami (e^(15/9))^2 = e^(10/3)