Mi a megoldása ezeknek a feladatoknak?

y'=(1+x)y szétválasztható fiff.egyenlet

dy/dx=(1+x)y ezt átrendezed

1/y dy =1+x dx integrálod mindkét oldalt

ln y =x+x^2/2 + C

Ebből

y=e^(x+x^2/2 + C)

(b)

A második is szeparálható, szóval az y-ok kerülhetnek a bal oldalra, az x-ek a jobb oldalra, amihez először y' helyett dy/dx-et kell írni:

dy/dx = x/y

átrendezve:

y·dy = x·dx

integrálva mindkét oldalt:

∫ y dy = ∫ x dx

y²/2 = x²/2 + C

(kettővel szorzás után 2C lesz, de az is csak konstans, jelöljük C-vel)

vonjunk gyököt, és vigyázni kell, hogy négyzet négyzetgyöke abszolút értéket hoz be:

|y| = √(x² + C)

És mivel van egy y(4) = -3 kezdeti feltétel: x helyébe 4 kerül, y helyébe -3:

|-3| = √(4² + C)

9 = 16 + C

C = -7

Az |y| pedig -y kell legyen, hogy -3 jöjjön ki, vagyis a függvény ez:

y = -√(x²-7)

(c)

Ez is szeparálható:

dy/dx = y² - 4

1/(y²-4) dy = dx

∫ 1/(y²-4) dy = ∫ 1 dx

A jobb oldal egyszerűen x + C, a bal oldalnál pedig ezt érdemes csinálni: (parciális törtekre bontásnak hívják)

1/(y²-4) = 1/((y-2)(y+2)) = A/(y-2) + B/(y+2)

Már csak A és B értékét kell kitalálni.

A és B értékét pedig úgy lehet kitalálni gyorsan, hogy nézzük a középső kifejezést, és először letakarjuk benne az (y-2)-t miközben 2-t helyettesítünk be, tehát ez lesz:

1/(2+2)

Ez lesz az A értéke.

Aztán letakarjuk az (y+2)-t, miközben y=-2-t helyettesítünk be:

1/(-2-2)

Ez lesz B.

(Bizonyára tanulták ezt a módszert, ha nem, elmagyarázom majd, hogyan jön ki.)

Vagyis a bal oldal, az integrállal együtt, ez:

1/4 · ∫ 1/(y-2) - 1/(y+2) dy = 1/4 · (ln(y-2) - ln(y+2))

ln(y-2) - ln(y+2) = 4x + C

ln ((y-2)/(y+2)) = 4x + C

mindkét oldalnak vesszük az exponenciálisát:

(y-2)/(y+2) = e^(4x + C)

y-2 = y·e^(4x + C) + 2·e^(4x + C)

y(1 - e^(4x + C)) = 2·e^(4x + C) + 2

y = 2(1 + e^(4x + C) )/(1 - e^(4x + C))

(d)

Ez is szeparálható:

x²·y' = y³ + y

y' / (y³+y) = 1/x²

dy / (y³+y) = dx / x²

∫ 1 / (y³+y) dy = ∫ 1 / x² dx

A jobb oldal egyszerű, -1/x + C, a bal bonyolultabb. Azt most is parciális törtekre bontással kell csinálni:

1/(y³+y) = 1/(y·(t²+1)) = A/y + (By+C)/(y²+1)

Ezt most nem lehet sima letakarással gyorsan megoldani, meg kell csinálni a közös nevezőt:

= (A(y¹+1) + (By+C)y) / (y·(t²+1))

a számlálónak 1-nek kell lennie:

1 = A(y¹+1) + (By+C)y = (A+B)y² + A + Cy

Ennek minden y-ra teljesülnie kell. Ha pl. y=0, akkor kijön, hogy A=1 kell legyen. (Egyébként ez még kijönne letakarásos módszerrel is...)

Helyettesítsük be az A=1-et:

0 = (B+1)y² + Cy

Ha y=i (a komplex egység), akkor ez ilyenné alakul:

0 = (B+1)·(-1) + C·i = -B-1 + C·i

A jobb oldal valós része -B-1, képzetes része C. A bal oldal valós része 0, képzetes is 0. És ezek egyenlőek.

Vagyis:

valós: 0 = -B-1

képzetes: 0 = C

Tehát B=-1 és C=0 kell legyenek.

Ezt tehát a tört:

1/y - y/(y²+1)

Ezt kell integrálni y szerint,. Az első tag ln y.

A második se túl bonyolult. Észre kell venni, hogy a tört számlálója (y) majdnem az, mint a nevező (y²+1) deriváltja (csak éppen a fele annak).

Vagyis ez egy f'/f jellegű függvény, aminek ln f az integrálja, hisz ln f deriváltja 1/f · f'

Tehát az első és második tag integrálja:

ln y - 1/2·ln(y²+1)

(a plusz C-t oda se írom, az ott van már a jobb oldali integrálban)

ln y - 1/2·ln(y²+1) = -1/x + C

ln(y²+1) - 2ln y = 2/x + C           (ez egy másik C, -2C valójában, de jelölhetjük C-vel)

ln ((y²+1)/y²) = 2/x + C

(y²+1)/y² = e^(2/x + C)

y²+1 = y²·e^(2/x + C)

y²(e^(2/x + C) - 1) = 1

y² = 1 / (e^(2/x + C) - 1)

y = ± 1 / (e^(2/x + C) - 1)

A test hőmérséklete annál gyorsabban változik, minél nagyobb a hőmérséklet különbsége a test és környezete között. Vagyis felírható egy ilyen diffegyenlet, ahol y az aktuális hőmérséklet az idő (t) függvényében, T pedig a környezeti hőmérséklet:

y' = -k·(y - T)

Azért lett negatív előjel, mert ha y>T, akkor hűlni fog a test, tehát y' negatív. A k konstans egyelőre ismeretlen, ez az anyagi minőségtől (meg mindenféle mástól is) függ, majd kijön a végére.

Ez is szeparálható:

dy/dt = -k·(y - T)

dy/(y-T) = -k·dt

ln(y-T) = -k·t + C

y-T = e^(-kt + C)

y = T + e^(-kt + C)

y = T + C / e^(kt)       (ez persze egy másik C)

Most T=20, y(0) = 100, y(20) = 60

Ezekből a kezdeti feltételekből számolhatjuk ki a konstansok értékét:

(A t idő mértékegysége perc)

y(0)-ból:

100 = 20 + C / e^(0) → C = 80

y(20)-ból:

60 = 20 + 80 / e^(k·20) → e^(k·20) = 2, k = (ln2)/20

Vagyis a hűlés egyenlete:

y(t) = 20 + 80 / e^(ln2 · t / 20)

y(t) = 20 + 80 / 2^(t / 20)

A 30 fokhoz tartozó idő:

y(t) = 20 + 80 / 2^(t / 20) = 30

80 / 2^(t / 20) = 10

8 = 2^(t / 20)

t = 60 perc