Mi a megoldása eme matematika feladatoknak?

cosx=szög melletti befogó/átfogó = b/c = 5/13

legyen b=5, c=13. Ebből pitagorasszal kijön a=12

sinx=a/c=12/13, tgx=a/b=12/5

sin2x=2·sinx·cosx=2·12/13·5/13=120/169

cos2x=cos²x-sin²x=(5/13)²-(12/13)²=-119/169

tg2x=sin2x/cos2x... stb

Nem oldom meg a feladatokat teljesen, legyen neked is munkád benne :)

1)

Ha megvan cos x, akkor sin x is rögtön kijön ebből:

sin²x + cos²x = 1

Ha meg már tudod a szinusz meg a koszinusz pontos értékét is:

sin 2x = 2·sin x·cos x

cos 2x = cos²x - sin²x

tg 2x = sin 2x / cos 2x (az előbb már ezek is kijöttek)

ctg 2x = 1/tg 2x

Ezeket az előző képleteket muszáj bemagolni!

2)

Ha tudnánk sinx-et meg cosx-et, akkor sin2x kijönne, ahogy az előbb.

Itt már nem feltétlenül ugrik be valami fejből, de a függvénytáblában van jópár képlet. Pl. ez jól jön most:

1 + tg²x = 1/cos²x

Ebből kijön cos x, abból meg sin x. Figyelni kell viszont közben arra, hogy 180° < x < 270°. Ebben a tartományban a szinusz és a koszinusz is negatív, vagyis amikor kijött az, hogy cos²x = 25/61, akkor abból cos x = -5/√61 lesz. stb.

3)

Szorozz át 32·sin α-val, ez lesz a bal oldal:

32·sin α · cos α · cos 2α · cos 4α · cos 8α · cos 16α

Amit így is zárójelezhetünk:

2·(2·(2·(2·(2·sin α · cos α) · cos 2α) · cos 4α) · cos 8α) · cos 16α

Látod már? 2·sin α · cos α = sin 2α, aztán ha azt írod oda, akkor 2·sin 2α · cos 2α lesz a legbelső zárójelben, stb. A legvége az lesz, hogy 2·sin 16α · cos 16α, ami éppen sin 32α, mint ami a jobb oldalon maradt. Kész a bizonyítás.

4)

Legyen α = π/65, ezzel felírva ezt kell kiszámolni:

cos α · cos 2α · cos 4α · cos 8α · cos 16α · cos 32α

Használjuk fel azt az összefüggést, amit a 3-as feladatban kellett bebizonyítani. Pontosabban most nem 16-szorosig, hanem 32-szeresig megy a koszinuszok szorzata, ezért az eredmény ez lesz:

= sin 64α / (64·sin α)

= 1/64 · sin(64π/65) / sin(π/65)

Na most π·64/65 = π - π/65 = π - α

Tudjuk, hogy sin(π-α) = sin α (Ezt is kell fejből tudni)

Ha ezt behelyettesíted, meglesz a megoldás.