Segitene valaki? (Koordinata geometria)

Hátha ez segít a hiba megtalálásában:

[link]

GeoGebra

[link]

Az ilyen feladatoknál érdemes úgy eljárni, hogy valamelyik részét eltoljuk az origóba, így jó eséllyel egyszerűsödni fog a számolás; toljuk el a P pontot, ehhez a (2;-2) vektort használjuk. A kör középpontja C(5;1), ezt is eltoljuk ezzel a vektorral, így a (7;-1) ponthoz jutunk, ezzel a kör egyenlete változatlan sugár mellett: (x-7)^2+(y+1)^2=10.

Ebben az eseten már az lesz a kérdés, hogy melyek azok az egyenesek, amelyek áthaladnak a (0;0) ponton, és érintik a kört.

Ha az egyenes az x=0 egyenletű egyenes, azt könnyű belátni; ha ekkor x helyére beírjuk a 0-t a kör egyenletében:

(0-7)^2+(y+1)^2=10

Ha az egyenletnek pontosan 1 megoldása van, akkor érintője a körnek:

49+(y+1)^2=10

(y+1)^2=-39, az egyenletnek nincs (valós) megoldása, tehát nem érintője a körnek. Ha viszont nem érintője, akkor az érintő egyenes egyenletét

y=mx alakban keressük, ahol m valós paraméter, vagyis úgy kell m-et "beállítanunk", hogy a körrel csak 1 metszéspontja legyen. Ezt írjuk be y helyére a kör egyenletében:

(x-7)^2+(mx+1)^2=10 |zárójelbontás

x^2-14x+49+m^2*x^2+2mx+1=10 |másodfokú egyenletté rendezés

(m^2+1)*x^2+(2m-14)*x+40=0

Az egyenletnek akkor lesz pontosan 1 megoldása, ha a diszkrimináns 0 tehát:

(2m-14)^2-4*(m^2+1)*40=0 |zárójelbontás

4m^2-56m+196-160m^2-160=0 |összevonás

-156m^2-56m+36=0 |osszunk (-4)-gyel, csak hogy egyszerűsödjön a számolás:

39m^2+14m-9=0

Ennek az egyenletnek a megoldása:

m1=(-14+40)/78=26/78=1/3

m2=(-14-40)/78=-9/13

Mivel az eltolással nem változnak az egyenesek meredekségei, ezért az eredeti feladatban keresett egyenesek meredekségei is ugyanezek lesznek. Innen már csak az a kérdés, hogy melyek azok az egyenesek, amelyek áthaladnak a P(2;-2) ponton, és meredekségeik 1/3, illetve -9/13. Szerintem ez már nem túl nagy szellemi kihívás.

Persze a Thalesz-körös megoldással is lehet számolni, de szerintem azt jóval egyszerűbb elszámolni, illetve ha több módon is ki tudod számolni a megoldást, és mindig ugyanaz jön ki, akkor biztos, hogy jól számoltál.