Hogy értelmezhető a következő képlet?

A képlet nem az együtthatókat írja le, hanem a polinom gyökeit (zérushelyeit).

Egyébként rossz a képlet az OEIS-en, ez a jó:

2+2*cos[(2k-1)Pi/(2^(n+1))]

A linkelt cikkben ( [link] ) a 215. oldalon jó a képlet, ott meg a Csebisev polinomot írta el: T₀=1, T₁=x, T₂=2x²-1 stb., de a cikkben a 214. oldalon a (19) összefüggés alatt eggyel nagyobb indexek szerepelnek. Később már jó indexekkel számol (fontos az indexek pontos kezelése, amikor átvált Csebisevről a saját polinomjára, hisz pont az indexekkel machinál). A következő oldalon a "Now applying (3)" után is elírás van, az 1/2 helyett 2^(n-1) kellene. Ez a szorzó a zérusok helyét persze nem érinti...

A zérushelyekre a koszinuszos képlet a Tn(x) Csebisev polinomok gyökeiből jön ki. Azokra ez igaz ugyanis:

Ha x = cos ϑ, akkor a Csebisev polinomra igaz ez:

Tn(cos ϑ) = cos(n·ϑ)

Ebből a Tn(x) gyökei kevés átalakítással látszódnak, hisz tudjuk, hogy cos(-π/2 + kπ)=0:

n·ϑ = -π/2 + kπ = (2k-1)π/2

ϑ = (2k-1)π/(2n)

x = cos ϑ = cos((2k-1)π/(2n))

(Most már látszik, hogy azért cos(-π/2+kπ)=0-t írtam a szokásos cos(π/2+kπ)=0 helyett az elején, hogy k=1..n behelyettesítéssel jöjjenek ki a gyökök, ahogy a cikk is használja a k-t.)

A folytatás ott van a 215. oldalon.

Valószínű azért nem érted, mert nem is ez kell neked. Gondolom kerestél a google-vel, és kijött ez az OEIS sorozat, ami a zérushelyekről szól. Ha nem a zérushelyek érdekelnek, akkor nem kell megértened azt a cikket, hanem a Csebisev polinomokat kell megértened. Arra egy másik kérdésben rákérdeztél már, ott válaszolok inkább.

http://www.gyakorikerdesek.hu/tudomanyok__termeszettudomanyo..