Hogy kell ezt a matekfeladatot megoldani? (kétszeres szögek szöggfüggvényei segítségével)

Próbáltam úgy, hogy kifejtem a kétszeres szögfüggvényeket, de úgy elbonyolódott és a végén nem jött ki semmi. Csak ezzel a hosszadalmas eljárással tudtam megoldani, de hátha lesz valaki más, akinek van frappánsabb megoldása.

Rendezzük át kicsit:

sin2x - cos2x = sinx - cosx

Szögfűggvények összege-különbsége felírható egyetlen szögfüggvényben is. Általánosságban:

  A·sinx - B·cosx = C·sin(x - D)

ugyanis ha kifejtjük a jobb oldalt:

= C·(sinx·cosD - cosx·sinD)

= C·sinD·sinx - C·sinD·cosx

vagyis ha

  C·sinD = A

és

  C·cosD = B

akkor kijön a kívánt szögfüggvény. Ezt pedig könnyen meg lehet oldani.

Most ez kell:

C·sinD = 1

C·cosD = 1

Osszuk el a két egyenletet:

tg D = 1

→ D = π/4

C·sin(π/4) = 1

→ C = √2

Vagyis sinx - cosx ugyanaz, mint √2·sin(x - π/4)

Ugyanezt a 2x-esekkel is megtehetjük. Szóval az eredeti egyenlet ez volt:

  sin2x - cos2x = sinx - cosx

és ilyenné alakítottuk:

  √2·sin(2x - π/4) = √2·sin(x - π/4)

  sin(2x - π/4) = sin(x - π/4)

Ezt már nem nehéz megoldani.

Két szinusz értéke akkor egyforma, vagyis sinα = sinβ akkor igaz, ha α=β+2kπ, vagy π-α=β+2kπ

a) α = β + 2kπ

2x - π/4 = x - π/4 + 2kπ

x₁ = 2kπ

b) π - α = β + 2kπ

π - (2x - π/4) = x - π/4 + 2kπ

π + π/4 = 3x - π/4 + 2kπ

3π/2 - 2kπ = 3x

x = π/2 - 2kπ/3

mivel k felvehet pozitív és negatív értékeket is, írhatunk -k helyett k-t is, úgy megszokottabb alakja lesz:

x₂ = π/2 + k·2π/3

Én a függvénytáblázatból kimásolt sin(alfa)-sin(béta) illetve cos(alfa)-cos(béta) azonosságokkal oldottam meg a példát.

Sajnos csak a kétszeres szöges azonossággal nem találtam egyszerű megoldást.

Tényleg, azzal is lehet

bal oldal:

sin 2x - sin x = 2 cos(3x/2)·sin(x/2)

jobb oldal:

cos 2x - cos x = -2 sin(3x/2)·sin(x/2)

amiből az jön ki, hogy

a) sin(x/2) = 0

b) tg(3x/2) = -1

stb.

A nyaralási időszak az oka, hogy csak most találkoztam ezzel a feladattal, s volna egy újabb megoldásom.

Nem biztos, hogy jó, de talán van használható része. :-)

A feladat

sin2α - sinα = cos2α - cosα

Átrendezve

sin2α - cos2α = sinα - cosα

Most legyen

2α = ß

ill

α = ß/2

Ezzel az egyenlet

sinß - cosß = sin(ß/2) - cos(ß/2)

A jobb oldal a félszögek függvénye szerint

sinß - cosß = √[(1 - cosß)/2] - √[(1 + cosß)/2]

Mindkét oldalt négyzetre emelve, majd összevonás és egyszerűsítés után marad

2sinß*cosß = sinß

Nullára rendezve és kiemelve

sinß(2cosß - 1) = 0

Az egyik megoldás

sinß = 0

a másik

2cosß = 1

cosß = 1/2

Lehet, hogy tévedek, de a második megoldás nem jó.

DeeDee

**********

sin(x/2) = √((1-cosx)/2)

Ez nem igaz, csak akkor, ha sin(x/2) ≥ 0. Egyébként az előjellel kell machinálni, ami elbonyolítaná a levezetésedet.

De az ötletedet (négyzetre emelés) felhasználva lehet így is csinálni:

sin(2x)-cos(2x) = sinx - cosx

Emeljünk négyzetre. Ezzel bejönnek hamis gyökök, amiket majd a végén ki kell szűrni!

sin²(2x) + cos²(2x) - 2sin(2x)cos(2x) = sin²x + cos²x - 2sinxcosx

1 - sin(4x) = 1 - sin(2x)

sin(4x) = sin(2x)

Ennek a sinα = sinβ jellegű kifejezésnek két megoldása van:

a) α = β + 2kπ

4x = 2x + 2kπ

x = kπ

Hamis gyökök keresése (vagyis ellenőrzés): [sin 2x - cos 2x =? sin x - cos x]

bal oldal: sin(2kπ)-cos(2kπ) = -1

jobb oldal: sin(kπ)-cos(kπ) = ±1, páros k esetén lesz -1, csak azok a megoldások.

Tehát a szűkített megoldás:

x = 2kπ

b) α = π-β + 2kπ

4x = π-2x + 2kπ

6x = (2k+1)π

x = (2k+1)π/6

Ellenőrzés: [sin 2x - cos 2x =? sin x - cos x]

k=0: sin(2·π/6)-cos(2·π/6) =? sin(π/6)-cos(π/6) nem igaz

k=1: sin(2·3π/6)-cos(2·3π/6) =? sin(3π/6)-cos(3π/6) igaz

k=2: sin(2·5π/6)-cos(2·5π/6) =? sin(5π/6)-cos(5π/6) nem igaz

k=3: sin(2·7π/6)-cos(2·7π/6) =? sin(7π/6)-cos(7π/6) igaz

k=4: sin(2·9π/6)-cos(2·9π/6) =? sin(9π/6)-cos(9π/6) nem igaz

k=5: sin(2·11π/6)-cos(2·11π/6) =? sin(11π/6)-cos(11π/6) igaz

k=6-tól kezdve ugyanaz, mint k=0-tól kezdve, azokat már nem kell nézni.

Vagyis páratlan k-kra igaz:

x = (2(2k+1)+1)π/6 = 2k·π/3 + π/2

Ugyanaz jött ki, mint az első megoldásomnál, de a négyzetre emelés miatt kötelező sok ellenőrzés azért szívás...