Szenvedeked a szögfügvényes egyenletekkel, ki tud segíteni?

1) 2sin²x+sin(2x)=0

Tudjuk, hogy sin 2x = 2·sin x · cos x [ezt be kell magolni]

2·sin²x + 2·sinx·cosx = 0

2·sinx·(sinx + cosx) = 0

Szorzat úgy lehet 0, ha valamelyik tagja nulla:

a) sinx = 0

vagyis x = 0 + k·π

(képzeld magad elé a sinx függvényt, abból látszik a periódus)

b) sinx + cosx = 0

sinx = -cosx

osszunk cosx-szel (ami nem 0, mert 0 lenne, sinx nem lenne 0)

tg x = -1

x = π/4 + k·π

2) 4cos²x+sin²(2x)=3

Itt is sin 2x = 2·sinx·cosx

4·cos²x + (2·sinx·cosx)² = 3

4·cos²x·(1 + sin²x) = 3

Tudjuk, hogy cos²x = 1 - sin²x, hisz sin²x+cos²x = 1

4·(1-sin²x)(1+sin²x) = 3

4(1 - sin⁴x) = 3

sin⁴x = 1/4

Vonjunk belőle negyedik gyököt. Pozitív és negatív is lehet a sinx:

a) sinx = 1/√2

x = π/4 + kπ

b) sinx = -1/√2

x = -π/4 + kπ

(Itt a periódus trükkös volt mindkét esetben... valójában így kell csinálni:

Nézzük mondjuk a sinx = 1/√2-t (a negatív is hasonlóan megy)

Tudjuk, hogy sin π/4 = 1/√2, és a szinusz periódusa 2π, ezért x₁ = π/4 + 2kπ.

Viszont van másik megoldás is: mivel sin x = sin(π-x), ezért π-x = π/4 is megoldás, ami x = π/4+π-et jelent, persze az is 2π periódussal, tehát x₂ = π/4 + π + 2kπ.

Ez az x₁ x₂ különválasztva is jó megoldás, a tanár elfogadná. Viszont látszik, hogy össze lehet vonni őket úgy, hogy kπ lesz a periódus, úgy írtam fel.)

3) sinxcosx=1-sinx+cosx

six·cosx + sinx = 1+cosx

sinx(cosx + 1) = 1 + cosx

(sinx - 1)(cosx + 1) = 0

a) sinx - 1 = 0

sinx = 1

x = π/2 + 2kπ

b) cosx + 1 = 0

cosx = -1

x = π + 2kπ

> Tudjuk, hogy sin 2x = 2·sin x · cos x [ezt be kell magolni]

A fenét kell! Semmit nem szabad magolni...