Négyzetek egy körön belül. Megoldható egyáltalán ez a feladat?

A jelölésektől eltekintve feladat lényege szerintem a következő:

Adott egy R sugarú kör, az egyik átmérőjének két pontja (X, Y) és egy harmadik - az előző kettőtől eltérő helyzetű - pont (A) a körön. Ezen feltételekkel kell négyzeteket szerkeszteni úgy, hogy a megadott pontok mindegyike valamelyik négyzet csúcspontja legyen. Ezeket figyelembe véve a következő megoldást tudom elképzelni:

[link]

Mivel az átmérő végpontjai adottak és állandók, a kialakuló négyzetek oldala csak a változtatható helyzetű A pont helyzetétől függ. Az A pont helyzetének megadásához többféle paraméter használható, én az 1. ábrán látható α szöget választottam.

A megadott sugárnak nincs jelentősége, mert arányról van szó.

Ezzel a területek aránya:

T/t = (a/b)²

Mivek a geometriából

tgα = a/(a + b)

az oldalak aránya:

a/b = tgα/(1 - tgα)

A képletből látható, hogy csak akkor van megoldás, ha

tgα > 0

ill

1 - tgα > 0

amiből

tgα < 1

tehát a szóba jöhető szögtartomány:

0 < α < 45°

Némi fejtörést okoztak a megadott körüljárású négyzetetek (XABD és az YCDE)

A problémát a közös D pont okozta.

Némi próbálkozás után kiderült, hogy a megadott körüljárások csak úgy teljesíthetők, ha a négyzetek oldala megegyezik, vagyis

a = b

ami egy 1:2 oldalarányú téglalapot jelent. Bár triviális, hogy ekkor a tgα = 1/2, ugyanez adódik az oldalarány képletéből is.

Ebben az esetben a területek aránya T/t = 1, és ez a válasz a feladat kérdésére.

Ezt ábrázolja a második ábra.

Ezen követhető a megadott körüljárású két négyzet, melyeknél a B és a E pont egybeesik.

Egy érdekesség a végére:

A négyzetek középpontjának távolsága a négyzetoldalak négyzetes közepével egyenlő.

Remélem, nem értettem félre semmit, ha mégis, majd kijavít valaki. :-)

Egy kérés: ha valamelyik GeoGebra virtuóz tudna egy olyan dinamikus ábrát prezentálni, ahol az A pont mozgatható, sokat segítene az elemzésben. :-)

DeeDee

**********

Nem igazán értem a problémádat.

Mit értesz azon, "...hogy a négyzetek területaránya nem adható meg konkrét számadatokkal."

Amint rögzítetted az A pont helyzetét, a szerkesztés egyértelműen elvégezhető, és a helyzetét megadó paraméter segítségével kiszámolható az oldalak aránya, abból pedig négyzetre emeléssel a területek aránya. Konkrét számadatokkal.

Az A pont csak négy helyen nem lehet: ezek az egymásra merőleges két átmérő egyenesének és a a körnek a metszéspontjai.

Minden más pozíciója egyértelmű szerkesztést és számítást tesz lehetővé.

Szóval végül is mi a gondod a megoldással?

DeeDee

**********

Köszönet Tom Benko mesternek az ábráért!

Szimpatikusabb lenne vízszintes helyzetű X - Y átmérővel, de a lényeg így is benne van. :-)

Nagyon jó, hogy egy másfajta módszert talált, ezzel lett teljes a feladat megoldása.

Legyen az 1:1 -es területarányhoz tartozó szög α1.

Ezzel Tom Benko megoldásának értelmezési tartománya

0 < α ≤ α1

az én megoldásomnál ugyanez

α1 ≤ α < 45°

Úgy is lehet fogalmazni, hogy Tom Benko megoldása alulról, az enyém felülről tart az 1:1-es arányhoz.

Az ábrából derült ki az is, hogy az első megoldásomat korrigálni kell a fenti értelmezési tartomány miatt.

Felmerül a kérdés, van-e a teljes értelmezési tartományt (0 < α < 45°) lefedő szerkesztési és számítási eljárás, vagy a két résztartomány a fentiek szerint csak külön kezelhető?

Hátha van valakinek egy jó ötlete. :-)

DeeDee

**********