Ezt a matek feladatott hogyan kell megoldani?

Nem öt tényező van, hanem három. Ezt a másodfokú egyenletet kell megoldani:

x^2 + (10-x)^2 + x*(10-x) = 76

Két megoldás van: 4 és 6.

A másik és kicsit rövidebb megoldás az, hogy észrevesszük, hogy a négyzetek és a szorzat összege csak épp egy szorzattal kevesebb, mintha magát a 10-et emelnénk négyzetre, ami ugye 100. Mégpedig azért, mert a 10-et így felírva:

10 = x + (10-x),

és ezt négyzetre emelve ezt kapjuk:

100 = x^2 + (10-x)^2 +2*x*(10-x).

És ez x*(10-x)-szel több, mint a feladat szerint előállítandó összeg, ami 76. Tehát x*(10-x)=24 kell legyen, amiből ránézésre is látszik, hogy 4 és 6 a két rész.

Van egy esetválasztós és egy egzakt megoldás, de lehet, hogy több is van.

A feladat a matek nyelvére fordítva

Legyen a két rész: a, b

Ezzel

a + b = 10

a² + b² + ab = 76

***A esetválasztós megoldás***

A második egyenletet alakítsuk teljes négyzetté

(a + b)² - ab = 76

A zárójelben levő összeg ismert

100 - ab = 76

rendezve

ab = 24

A 24 komplementer osztói

1 - 24

2 - 12

3 - 8

4 - 6

Sorban behelyettesítve a párokat, kiderül, hogy csak az utolsó eset a megoldás, vagyis

a = 4 (6)

b = 6 (4)

******************

***Az egzakt megoldás***

Tekintsük a kiinduló egyenleteket egy egyenletrendszernek, két ismeretlen, két egyenlet, a megoldás nem lehet gond.

a + b = 10

a² + b² + ab = 76

Az elsőből

b = 10 - a

a másodikba behelyettesítve

a² + (10 - a)² + a(10 - a) = 76

A zárójelek felbontása majd rendezés után a következő másodfokú egyenletet kapjuk:

a² - 10a + 24 = 0

A részletek mellőzésével a gyökök:

a1,2 = 5 ± 1

vagyis

a1 = a = 6

a2 = b = 4

*****************

DeeDee

**********

Amíg írtam, megelőztek, de sebaj! :-)

DeeDee

*******