Köregyenletet lehet deriválni?

y=(r^2-x^2)^1/2

y'=-x/(r^2-x^2)^1/2

Persze, hogy lehet deriválni. y-t x függvényének tekinted és szépen x szerint deriválsz. Ekkor az

(x-x0)^2+(y-y0)^2=r^2

egyenletből ezt kapod (2-vel való osztás után):

x-x0+(y-y0)*y'=0

Nem mondtál hülyeséget, a köregyenlet tényleg nem függvény. Viszont deriválni lehet görbéket is, nem csak függvényeket, ahogy #2 is csinálta.

#1 csinált a görbéből egy függvényt, ami persze csak a kör fele, és azt deriválta. Teljesen jó, amit csinált, de persze nem a teljes görbére.

#2 a görbét magát deriválta, vagyis deriválta az egyenlet mindkét oldalát mint egy-egy függvényt x szerint, és ha eredetileg egyformák voltak, akkor a derivaltjaik is egyformák kell legyenek. Nem tudom, megértetted-e, "belső függvény deriváltja" a kulcsszó, valamint az, hogy y deriváltja egyszerűen y'.

Bár látszólag nem ugyanaz jött ki nekik, de valójában egyforma az: #1-be helyettesítsd be, hogy √(r²-x²) = y, az lesz, hogy

y' = -x / y

#2-ben meg nullázd az x₀ és y₀ koordinátákat és rendezd át, ott is az lesz, hogy y' = -x / y

Ha utána akarsz olvasni mélyebben, arra keress rá mondjuk, hogy implicit derivált.

A kör egyenletének szokásos alakját önmagában nem lehet deriválni, mert nem függvény, ezt jól látod.

Mégis mi a feloldás?

Az egyik lehetőség, hogy felbontjuk két félkörre, azaz y-ra explicite fejezzük ki a formulát, így már két függvényünk lesz:

y=pluszminusz gyök(R^2-x^2).

Evvel azonban mégis van egy probléma. Sajnos ez sem deriválható mindenhol, csak az x € (-R,+R) nyílt intervallumon.

Erre egy lehetséges feloldás lehet, ha paraméterezzük a kört, és differenciálgeometriai eszközök segítségével dolgozunk. Ílyen módon az eredeti kör mindenhol deriválható lesz, felbontás nélkül.