MATEK! Csatoltam egy képet, van egy feladat 6 megoldási mód kezdetével, azokat kellene befejezni, de nem tudom megoldani ezeket. Segítene valaki?

Az álló és a forgó negyzet területe is 4 cm²

1. Ha egy helyett 4 négyzetet nézünk, könnyen belátható, hogy az egyes forgó négyzetek közös része az álló négyzettel egybevágó (hisz mindenhol merőleges szárú szögek vannak, a keresett négyszögek egyik átlója pedig azonos hosszú.) Így a keresett terület a négyzet területének negyede, 1 cm².

2. Az AMO háromszög egybevágó a CSO háromszöggel, mert oldalaik merőleges szárúak, és AO = CO. Ha az AMO-t átrakjuk CSO-ba, a keresett négyszög átalakul az AOC háromszöggé, aminek területe a négyzet terűletének a negyede, 1 cm².

(A két kis négyzet csak a derékszög jele.)

3. (Itt is a két kis negyzet csaka derékszög jele, nem azt mozgatja át a nyíl.)

STO egybevágó a hmm, nincs jelölve a harmadik csúcsa (X) az MXO háromszögnek... ott a derékszögnél. Szóval a 2-höz hasonlóan ezek is egybevágóak, stb.

Sok hűhó semmiért! :-)

A közös terület mindig az álló négyzet területének negyede!

5.

Az SOT derékszögű háromszög O-hoz tartozó magassága be van rajzolva (1 hosszú), de a talppontjának nincs neve. Legyen M.

A felírt összefüggést nem tudom, hogy tanultátok-e, néhány lépésben belátható:

SM/MO = tg α

TM/MO = tg(90°-α) = ctg α, ezért TM = ctg α

és már csak a párhuzamos szelők tételét kell felírni:

RQ : OM = QT : MT

vagyis (1) RQ : 1 = QT : ctg α

A folytatás: QM = 1, ezért QT = MT - 1 = ctg α - 1

ezt behelyettesítve az (1) képletbe:

RQ = (ctg α - 1) / ctg α

RQ = 1 - tg α

A négyszög területe az SMO háromszög és az MQRO trapéz területeinek az összege:

SMO területe: SM·1/2 = tgα / 2

MQRO területe: MQ·(RQ+OM)/2 = 1·(1-tgα + 1)/2 = 1 - tgα / 2

Ezek összege pedig 1.

6.

Hmm, erre én is azt mondom, mint #3, hogy túl van bonyolítva.

Hasonlóságból nekem sokkal egyszerűbb megoldás jön ki:

ONV háromszög hasonló az RQV háromszöghöz, ezért:

ON : RQ = OV : RV, más betűkkel: 1 : k = x : (x-p)

Átszorozva: kx = x-p

Ebből kifejezve x-et: x = p / (1-k)

Ugyanabból a háromszögből:

ON : RQ = NV : QV, vagyis 1 : k = (1+y) : y

y = k + ky

y = k / (1-k)

Az SOV háromszög területe p·x/2, ebből kivonva az RQV területét (ami k·y/2), megkapjuk a keresett négyszög tterületét:

T = (px - ky)/2 = (p²/(1-k) - k²/(1-k))/2

T = (p²-k²)/[2(1-k)]

Az ONS háromszögből Pitagorasz: p² = 1 + (1-k)² = 2 - 2k + k²

p²-k² = 2·(1-k)

Ezt behelyettesítve kapjuk, hogy T = 1

Na most itt volt egy kis bukfenc: az ábrán rajta van, hogy RQ = k és SN = 1-k, de nincs bizonyítva, hogy ez tényleg ugyanaz a k. Ha viszont ezt igaznak vesszük, akkor az 5-höz hasonlót tudunk jóval egyszerűbben csinálni:

SNO területe (1-k)·1/2, NQRO trapéz területe 1·(1+k)/2, ezek összege 1.

Az pedig hogy SN = 1-k ha RQ=k, mondjuk olyasmikből jön, mint amiket a 2 és 3 megoldásnál kellett használni: mondjuk a 2. megoldásnál CSO egybevágó AMO-val, ezért az ottani k-val jelölt CS egyenlő az r-rel jelölt AM-mel. Ez pedig egyenértékű azzal, hogy a 6-os ábrán SN=1-k és RQ=k.