Jó matekosok, segítség?

alfa-->x átírással a kövcsi egyenlet kapod:

5·SIN(x)·COS(x) - sqrt(2)·SIN(x) = sqrt(2)

Folyt. köv. Sz. Gy.

Keressük meg az f(x) := 5·SIN(x)·COS(x) - sqrt(2)·SIN(x) - sqrt(2) függvény zérushelyeit, és bevezetjük t=SIN(x) új ismeretlent. Kapjuk a 5·t·sqrt(1 - t^2) - sqrt(2)·t - sqrt(2)=0 gyökös egyenletet. Ez átírható

25·t^2·(1 - t^2) = (sqrt(2)·t + sqrt(2))^2 alakra, amely ekvivalens a - 25·t^4 + 23·t^2 - 4·t - 2 polinom

gyökhelyeinek vizsgálatával. Utóbbi átírható szorzattá alakítással - (t+ 1)·(25·t^3 - 25·t^2 + 2·t + 2) alakra. Innen a kérdéses trigonometrikus egyenlet egyik gyöke olvasható ki: t1=-1. Azaz x1=-pi/2+2k*pi ahol k eleme a Z-nek. Látható, hogy a második tényező egy harmadfokú polinom. Sajnos a harmadfokú egyenletet megoldani csak az egyetemek és főiskolák első évfolyamán tanítanak. Itt szóba kerülhet a Newton-módszer vagy a Cardano-képlet alkalmazása. A részletek mellőzésével adódnak az x2~-2,914673+2k*pi, x3~0,851563+2k*pi és x4~0,492313+2k*pi becslések. Itt az ellenőrzést a

25·(t - SIN(0.492313))·(t - SIN(0.851579))·(t - SIN(-2.914673))=25·t^3 - 25,00024569·t^2 + 2,000056320·t + 2.000027372 becsléssel végeztem el, ami lényegében a kérdéses 25·t^3 - 25·t^2 + 2·t + 2 polinom közelítésének tekinthető. Sz. Gy.