A 2010 egy olyan négyjegyű pozitív egész szám, amelyben három szomszédos számjegy szerepel, a legkisebb kétszer. Hány ilyen négyjegyű pozitív egész szám van?

Hát kezdj el matekolni. olyan szám kell, amiben három szomszédos számjegy szerepel (jelen példában 0,1,2), a legkisebb kétszer. Gondolom nem nehéz meglátni, hogy ha van 3 szomszédos számjegyed, az egyikből kettő, akkor akárhogyan rakod őket sorba, ugyanúgy 3 szomszádos számjegy lesz, a legkisebb kétszer. Tehát alapvetően az ilyen számok összes permutációjára igaz lesz ez. Tehát egy alkalmas szám 4!/2! = 12 módon lesz sorba rakható (4 számjegy, egyik 2-szer ismétlődik).

Kérdés, hány ilyen számcsoport van? Van ugye a példában szereplő (0,0,1,2), és ha elkezdjük növelnia számokat megkapjuk a többi alkalmas számcsoportot is: (1,1,2,3),(2,2,3,4), és így tovább, (7,7,8,9)-ig. A legkisebb szám 0-tól 7-ig megy, tehát 8 ilyen alkalmas számcsoport van, mindegyikben 12 permutáció, azaz 96 összesen... kiiivéve egy apróságot. A (0,0,1,2) esetében nem tudjuk mind a 12 permutációt számolni, mivel egy négyjegyű szám nem kezdődhet 0-val. Ezért itt csak 6 permutáció fog élni: 2001, 2010, 2100, 1002, 1020, 1200. Szóval mivel itt 12 helyett 6-ot számolunk, az összeg is 96 helyett 90 lesz.