Matematika 9. osztály! Tudnátok segíteni?
16. Három kirándulást szerveztünk egy évben az osztályunk 32 tanulójának. Mindenki volt
legalább az egyiken. A pontosan két túrán részt vevők száma kétszer annyi, mint azoké,
akik mindhárom túrán ott voltak. Pontosan egy kiránduláson 10-zel kevesebben voltak,
mint azok, akik legalább kettőn vettek részt.
a. Hányan voltak pontosan egy, kettő illetve mindhárom túrán?
b. Az első túrán 1-gyel, a másodikon 5-tel kevesebben voltak, mint a harmadikon.
Hányan voltak az egyes kirándulásokon?
c. Az osztály fiú tanulói sakkbajnokságot szerveztek, amelyen minden résztvevő
kétszer játszott a többiekkel. Hány fiú vett részt a bajnokságon, ha 182 parti zajlott
le?
Először érdemes egy halmaz-ábrát felrajzolni:
(a jobb oldali)
Legyen:
x = a pontosan egy túrán résztvevők száma
y = a pontosan két túrán résztvevők száma
z = a pontosan három túrán résztvevők száma
Ekkor ezeket tudjuk:
y = 2z
x = y + z - 10
Továbbá:
x + y + z = 32
(mert mindenki volt legalább egy túrán)
Tehát van egy 3 egyenletből álló, 3 ismeretlenes egyenletrendszerünk, amit nem nehéz megoldani:
y = 2z
x = y + z - 10
x + y + z = 32
Az első egyenletből már ki is van fejezve az y-t, helyettesítsük be a másik kettőbe:
x = 2z + z - 10 = 3z - 10
x + 2z + z = x + 3z = 32
A második egyenletből így ki lett fejezve az x, helyettesítsük be a harmadikba:
3z - 10 + 3z = 32
6z - 10 = 32
6z = 42
z = 7
Helyettesítsünk vissza:
x = 3z - 10 = 3 * 7 - 10 = 21 - 10 = 11
y = 2z = 2 * 7 = 14
a)
11-en voltak csak egyen, 14-en pontosan kettőn, 7-en mindhármon.
b)
Legyen:
w = a harmadik túrán résztvevők száma
Ekkor:
(w - 1)-en voltak az elsőn
(w - 5)-en voltak a másodikon
Ha ezt a hármat összeadjuk, akkor:
- azokat a diákokat, akik pontosan 2 túrán vettek részt, KÉTSZER számolnánk
- azokat a diákokat, akik pontosan 3 túrán vettek részt, HÁROMSZOR számolnánk
Ezért ahhoz, hogy ebből az összegből megkapjuk az osztály létszámát (32), ki kell vonnunk:
- a pontosan 2 túrán résztvevők számát EGYSZER
- a pontosan 3 túrán résztvevők számát KÉTSZER
Írjuk fel:
w - 1 + w - 5 + w - y - 2z = 32
y-t és z-t már ismerjük, illetve vonjunk össze a bal oldalon:
3w - 6 - 14 - 2 * 7 = 32
3w - 34 = 32
3w = 66
w = 22
Így:
21-en voltak az elsőn, 17-en a másodikon, 22-en a harmadikon.
c)
Ezt pedig egy (konvex) sokszöggel érdemes szemléltetni:
- a csúcsai a résztvevők
- az átlói ÉS az oldalai a lejátszott partik FELE (mert mindenki mindenkivel kétszer játszott)
Nem tudjuk, hogy hány csúcsa van ennek a sokszögnek, de nem nehéz kitalálni, hogy:
HA n résztvevő van, akkor rajta kívül (n - 1) játékos van, akikkel mind 2-t játszott. DE arra oda kell figyelni, hogy véletlenül se számoljuk duplán a partikat!
(A játszik B-vel kétszer = B játszik A-val kétszer)
De ha visszatérünk a sokszögekhez, akkor tudjuk, hogy:
- egy n csúcsú sokszögnek n oldala van
- egy n csúcsú sokszögnek n * (n - 3) / 2 átlója van
Tehát az oldalak és átlók száma:
n + n * (n - 3) / 2 = n * (n - 3 + 2) / 2 = n * (n - 1) / 2
Ezt kell ktészer venni:
n * (n - 1)
És azt tudjuk, hogy ez 182:
n * (n - 1) = 182
n^2 - n - 182 = 0
Ez egy másodfokú egyenlet, használjuk a másodfokú egyenlet megoldóképletét.
n1 = -13
n2 = 14
A -13 nem jó, mert egy sokszögnek nem lehet -13 csúcsa, illetve egy sakkversenynek -13 résztvevője. Így a 14 az egyetlen megoldás, amit érdemes ellenőrizni.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!