Kezdőoldal » Közoktatás, tanfolyamok » Házifeladat kérdések » Matematika 9. osztály! Tudnáto...

Matematika 9. osztály! Tudnátok segíteni?

Figyelt kérdés

16. Három kirándulást szerveztünk egy évben az osztályunk 32 tanulójának. Mindenki volt

legalább az egyiken. A pontosan két túrán részt vevők száma kétszer annyi, mint azoké,

akik mindhárom túrán ott voltak. Pontosan egy kiránduláson 10-zel kevesebben voltak,

mint azok, akik legalább kettőn vettek részt.

a. Hányan voltak pontosan egy, kettő illetve mindhárom túrán?

b. Az első túrán 1-gyel, a másodikon 5-tel kevesebben voltak, mint a harmadikon.

Hányan voltak az egyes kirándulásokon?

c. Az osztály fiú tanulói sakkbajnokságot szerveztek, amelyen minden résztvevő

kétszer játszott a többiekkel. Hány fiú vett részt a bajnokságon, ha 182 parti zajlott

le?



2016. jan. 19. 21:13
 1/2 anonim ***** válasza:

Először érdemes egy halmaz-ábrát felrajzolni:

[link]

(a jobb oldali)


Legyen:

x = a pontosan egy túrán résztvevők száma

y = a pontosan két túrán résztvevők száma

z = a pontosan három túrán résztvevők száma


Ekkor ezeket tudjuk:

y = 2z

x = y + z - 10


Továbbá:

x + y + z = 32

(mert mindenki volt legalább egy túrán)


Tehát van egy 3 egyenletből álló, 3 ismeretlenes egyenletrendszerünk, amit nem nehéz megoldani:

y = 2z

x = y + z - 10

x + y + z = 32


Az első egyenletből már ki is van fejezve az y-t, helyettesítsük be a másik kettőbe:

x = 2z + z - 10 = 3z - 10

x + 2z + z = x + 3z = 32


A második egyenletből így ki lett fejezve az x, helyettesítsük be a harmadikba:

3z - 10 + 3z = 32

6z - 10 = 32

6z = 42

z = 7


Helyettesítsünk vissza:

x = 3z - 10 = 3 * 7 - 10 = 21 - 10 = 11

y = 2z = 2 * 7 = 14


a)

11-en voltak csak egyen, 14-en pontosan kettőn, 7-en mindhármon.


b)

Legyen:

w = a harmadik túrán résztvevők száma


Ekkor:

(w - 1)-en voltak az elsőn

(w - 5)-en voltak a másodikon


Ha ezt a hármat összeadjuk, akkor:

- azokat a diákokat, akik pontosan 2 túrán vettek részt, KÉTSZER számolnánk

- azokat a diákokat, akik pontosan 3 túrán vettek részt, HÁROMSZOR számolnánk


Ezért ahhoz, hogy ebből az összegből megkapjuk az osztály létszámát (32), ki kell vonnunk:

- a pontosan 2 túrán résztvevők számát EGYSZER

- a pontosan 3 túrán résztvevők számát KÉTSZER


Írjuk fel:

w - 1 + w - 5 + w - y - 2z = 32


y-t és z-t már ismerjük, illetve vonjunk össze a bal oldalon:

3w - 6 - 14 - 2 * 7 = 32

3w - 34 = 32

3w = 66

w = 22


Így:

21-en voltak az elsőn, 17-en a másodikon, 22-en a harmadikon.

2016. jan. 20. 09:26
Hasznos számodra ez a válasz?
 2/2 anonim ***** válasza:

c)

Ezt pedig egy (konvex) sokszöggel érdemes szemléltetni:

- a csúcsai a résztvevők

- az átlói ÉS az oldalai a lejátszott partik FELE (mert mindenki mindenkivel kétszer játszott)


Nem tudjuk, hogy hány csúcsa van ennek a sokszögnek, de nem nehéz kitalálni, hogy:

HA n résztvevő van, akkor rajta kívül (n - 1) játékos van, akikkel mind 2-t játszott. DE arra oda kell figyelni, hogy véletlenül se számoljuk duplán a partikat!

(A játszik B-vel kétszer = B játszik A-val kétszer)


De ha visszatérünk a sokszögekhez, akkor tudjuk, hogy:

- egy n csúcsú sokszögnek n oldala van

- egy n csúcsú sokszögnek n * (n - 3) / 2 átlója van


Tehát az oldalak és átlók száma:

n + n * (n - 3) / 2 = n * (n - 3 + 2) / 2 = n * (n - 1) / 2


Ezt kell ktészer venni:

n * (n - 1)


És azt tudjuk, hogy ez 182:

n * (n - 1) = 182

n^2 - n - 182 = 0


Ez egy másodfokú egyenlet, használjuk a másodfokú egyenlet megoldóképletét.


n1 = -13

n2 = 14


A -13 nem jó, mert egy sokszögnek nem lehet -13 csúcsa, illetve egy sakkversenynek -13 résztvevője. Így a 14 az egyetlen megoldás, amit érdemes ellenőrizni.

2016. jan. 20. 09:36
Hasznos számodra ez a válasz?

Kapcsolódó kérdések:





Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu

A weboldalon megjelenő anyagok nem minősülnek szerkesztői tartalomnak, előzetes ellenőrzésen nem esnek át, az üzemeltető véleményét nem tükrözik.
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!