Forgáskúp alfa=210°, A=350cm2, mennyi r, m, a, V, nyílásszög?

r = sugár (alap-köré)

m = magasság (forgáskúpé)

a = alkotó (forgáskúpé)

V = térfogat (forgáskúpé)

A = felület (forgáskúpé)

α = központi szög (kúp palástjáé)

β = nyílásszög (kúpé)

► Az alap(kör) sugarának és a kúp alkotójának aránya:

Az alapkör kerülete 2*r*π. Ez egyben a palást körívének hossza is.

A palást képzelt, teljes körének kerülete: 2*a*π. A teljes körkerület úgy aránylik a körívhez, ahogyan 360° a központi szöghöz.

(2*a*π) / (2*r*π) = 360 / 210

(2*a*π) / (2*r*π) = 12 / 7

a / r = 12 /7

a = r * (12/7)

► A forgáskúp felszínének képletéből, és az előző arányból a sugár és az alkotó hossza:

A = r²*π + r*π*a

a helyére beírhatjuk, hogy r * (12/7), és a képletben csak r lesz ismeretlen:

350 = r²*3,14 + r*3,14*r*(12/7)

350 = r²*3,14 + r²*3,14*(12/7)

350 = r²*3,14*(1+12/7)

350 / (3,14*(1+12/7)) = r²

350 / 8,52285714285714 = r²

41,066 = r²

6,41 cm = r

Mivel a = r * (12/7), így

a = 6,41 * 12/7 = 10,988 cm

►Az alapkör sugarából és az alkotóból a forgáskúp magassága:

Ezek egy derékszögű háromszöget képeznek. A befogók: a sugár és a magasság, az átfogó az alkotó.

Pythagoras-tétellel:

r² + m² = a²

m² = a² - r²

m² = 10,988²- 6,41²

m² = 120,736 – 41,088 = 79,648

m = 8,92 cm.

► Az eddig adatokból a forgáskúp térfogata:

V = r²*π*m/3

V = 6,41²*3,14*8,92/3

V = 41,088*3,14*8,92/3

V = 383,6085 cm³.

► A forgáskúp nyílásszöge:

A magasság-számításnál említett derékszögű háromszög felső pontnál levő hegyesszöge (legyen γ):

sin(γ) = r / a

sin(γ) = 6/41 / 10,988

sin(γ) = 0,58336

γ = arcsin(0,58336)

γ = 35,6872°

A kúp nyílásszöge ennek a kétszerese:

β = 2 * 35,6872 = 71,3744°