Segítség matek házi! 5x^2+5xy+5y^2=7x+14y? X;y eleme Z-nek

Mivel az egyenlet nem tartalmaz konstans tagot, triviális megoldása az x=0 ; y=0.

Ezen kívül.

5(x^2+xy+y^2) = 7(x+2y). Mivel az 5 és a 7 prímszámok, ez csak akkor teljesülhet, ha 7|x^2+xy+y^2 ; 5|x+2y.

Innen nem tudom, hogy lenne jó, de am próbálgatással kijön, hogy x=1 ; y=2 és x=-1 ; y=3 is megoldások.

Parametrikusan érdemes megoldani; legyen y a paraméter, ekkor redukáljuk 0-ra a jobb oldalt:

5x^2+5xy+5y^2-7x-14y=0, másként:

5x^2+(5y-7)*x+5y^2-14y=0

Másodfokú egyenlet megoldóképletével megoldjuk:

x1;2=(-5y+7+-gyök((5y-7)^2-4*5*(5y^2-14y))/10=

=(-5y+7+-gyök(-75y^2+210y+49))/10

Értelemszerűen a gyök alatt csak nemnegatív szám állhat, tehát meg kell oldanunk ezt az egyenlőtlenséget:

-75y^2+210y+49>=0, ennek a gyökei y1=~-0,21 és y2=~3,02, a tanultak alapján tudjuk, hogy e két szám között lehet y értéke, de mivel y egész, ezért a lehetséges értékek: y={0;1;2;3}. Most, hogy ezt tudjuk, y helyére beírogatjuk ezeket az értékeket a megoldóképletbe:

y=0: x1;2=(-5*0+7+-gyök(-75*0^2+210*0+49))/10=0/10=0, tehát az egyik megoldás: y=0, x=0 (a feladatra ránézve egyébként triviális megoldás)

y=1: x1;2=(-5*1+7+-gyök(-75*1^2+210*1+49))/10=(2+-gyök(184))/10=~1,556 és ~-1,156, ezek nem egészek, tehát ez nem megoldás.

y=2: x1;2=(-5*2+7+-gyök(-75*2^2+210*2+49))/10=(-3+-gyök(169))/10=1 és -1,6, ebből csak az x=1 jó nekünk, tehát egy újabb megoldás: {x;y}={1;2}

y=3: x1;2=(-5*3+7+-gyök(-75*3^2+210*3+49))/10=(-8+-gyök(4))/10=-1 és 0,6, ebből az x=-1 a jó, tehát

{x;y}={-1;3}

Mivel y-nak más értéke nem lehet, ezért minden lehetséges megoldást megvizsgáltunk. Ha nem számoltam el, akkor összesen 3 megoldása van az egyenletnek.

A Wolframalpha szerint nem:

[link]

Az "Integer solutions" alatt találod az egyenlet egész megoldásait; pont azokat, amelyeket én is megtaláltam.