Egy dobozban piros és fehér golyók vannak, összesen 79 darab. Ha kiveszünk a dobozból hétszer annyi fehér golyót, mint pirosat, akkor a dobozban négyszer annyi piros golyó marad, mint fehér. Hány fehér és hány piros golyó volt eredetileg a dobozban?

79 golyóból kiveszünk x darab piros golyót és 7*x darab fehéret (azaz összesen 8x darab golyót), akkor marad y darab fehér és 4y darab piros, azaz 5y darab golyó.

Tudjuk, hogy 8x+5y=79

5 és 8 relatív prímek, tehát a feladat biztosan megoldható. Lineáris diofantikus egyenlet. Jó szórakozást :D

Legyen a dobozban p piros golyó, akkor fehérből 79-p darab van (remélem, ezt nem kell részleteznem). Ha a dobozból kiveszünk k darab piros golyót, akkor a dobozban p-k darab piros lesz, fehérből a feltételek alapján 7*k darabot veszünk ki, ekkor 79-p-7*k darab fehér golyó lesz a dobozban. A feltételek alapján a dobozban 4-szer annyi piros golyó lesz, mint fehér:

4*fehérek száma=pirosak száma

4*(79-p-7*k)=p-k

316-4*p-28*k=p-k

316-27*k=5*p

(316-27*k)/5=p

Ezzel sikerült megadnunk a piros golyók számát annak a függvényében, hogy hányat vettünk ki az elején. Értelemszerűen p (vagyis a piros golyók száma) csak egész szám lehet, ez azt jelenti, hogy a bal oldali törtnek is egésznek kell lennie. Már csak az a kérdés, hogy k helyére milyen számokat írhatunk, hogy a tört értéke egész legyen. Ehhez egy kicsit át kell alakítanunk a törtet:

=(315+1-27*k)/5=(315/5)+(1-27*k)/5=63+(1-27*k)/5=63-(27*k-1)/5

Tudjuk, hogy egy szám akkor osztható 5-tel, hogyha utolsó számjegye 0 vagy 5. Ez akkor lehet, hogyha 27*k alakú szám utolsó számjegye 1 vagy 6. Azt kell megnézi, hogy milyen számmal kell szorozzuk, hogy ez megvalósuljon; akkor jó, hogyha a szám utolsó számjegye 3 vagy 8. Tehát k lehetséges értékei: 3, 8, 13 több nem lehet, mert akkor 63-valami már negatív lenne. Ezeket kell végignézni, kijön belőlük az p, abból az f, és csak ellenőrizni kell, hogy jók-e.