Segítene valaki? 1. Egy 10cm élű kocka csúcsait az ott összefutó élek felezőpontján átmenő síkokkal levágjuk. Hány lapú testet kapunk? Mekkora lesz a megmaradt test felszíne? Mekkora lesz a megmaradt test térfogata?

6

A=6×(gyök(5^2+5^2))

V=(gyök(5^2+5^2))^3

> „Hány lapú testet kapunk?”

Hát lesznek vadiúj háromszöglapok a 8 csúcsnál, meg ilyen apró négyzetlapok a 6 eredeti lap helyén.

> „Mekkora lesz a megmaradt test felszíne?”

A háromszöglapok szabályosak, az élük hossza meg ugye az eredeti kocka egy lapjának középvonalának hossza, ami fele olyan hosszú, mint az eredeti kocka egy lapátlója. A négyzetlapok oldalának hossza is ugyanennyi lesz.

> „Mekkora lesz a megmaradt test térfogata?”

Az eredeti kocka térfogatát ugye tudod, ebből kis háromszög alapú gúlákat vágunk le, amiknek az előző részből már tudjuk az alapterületét, tehát még a magasságukat kéne kitalálni a térfogatukhoz, és abból már meglenne minden.

Ennyi segítség elég, vagy teljesen megoldjuk helyetted?

Ellenőrzésképpen:

> „Hány lapú testet kapunk?”

6 + 8 = 14.

> „Mekkora lesz a megmaradt test felszíne?”

Legyen a kocka élhossza a, ekkor az új test éleinek hossza e = a/gyök(2).

S = 8*T(háromszöglap) + 6*T(négyzetlap) = 8*gyök(3)/4*e^2 + 6*e^2 = gyök(3)*a^2 + 3*a^2 = (3 + gyök(3))*(10 cm)^2 ≈ 473,2 cm^2.

> „Mekkora lesz a megmaradt test térfogata?”

A gúlák térfogata, ha a szabályos háromszöglapjaikhoz tartozó magasságuk m:

V(gúla) = T(háromszöglap)*m/3,

ahol m-et a Pitagorasz-tételből számolhatjuk, ugyanis

(a/2)^2 = m^2 + (2*s/3)^2,

ahol s a szabályos háromszög lap súlyvonala. A gúla magassága ennek a csúcstól távolabbi harmadolópontjába (a háromszög súlypontjába/középpontjába) fut be szimmetriai megfontolások miatt. A magasság merőleges a súlyvonalra, így a gúla a/2 hosszú élével (a kocka félélével) derékszögű háromszöget alkot. Ugye

s = gyök(3)/2*e = gyök(3)/2*a/gyök(2) = gyök(3/8)*a. Visszatérve az előző egyenletre

m^2 = a^2/4 + 4/9*s^2 = a^2/4 + 4/9*3/8*a^2 = 5/12*a^2,

m = gyök(5/12)*a.

V(gúla) = gyök(3)/8*a^2*gyök(5/12)*a/3 = gyök(5)/48*a^3.

És aztán végre valahára (a fene gondolta, hogy így elbonyolódik, így már tuti, hogy elrontottam)

V(test) = V(kocka) – 8*V(gúla) = a^3 – gyök(5)/6*a^3 = (1 – gyök(5)/6)*(10 cm)^3 ≈ 627,3 cm^3.

Megvan, az utolsó előtti ötödik sort írtam el, és aztán azzal számoltam rosszul. (Azt meg lepontozzák, aki lecsesz valakit, hogy egy 9 karakteres képletben 2 dolgot is elír…)

Helyesen a vége:

m^2 = a^2/4 – 4/9*s^2 = a^2/4 – 4/9*3/8*a^2 = a^2/12,

m = gyök(3)/6*a.

V(gúla) = gyök(3)/8*a^2 * gyök(3)/6*a / 3 = a^3/48.

Végül, most már valószínűleg jól:

V(test) = V(kocka) – 8*V(gúla) = a^3 – a^3/6 = 5/6*(10 cm)^3 ≈ 833,3 cm^3.