Hogyan oldhatnám meg ezt a feladatot?

> „persze csak ha feltételezem, hogy…”

Ne csak feltételezd! A 3 hatványainak 4-es maradéka így néz ki sorban (a 0.-kal kezdem):

1, 3, 1, 3, 1, 3,…

Tehát a párosadik hatványok mind 1 maradékot adnak 4-gyel osztva, mondjuk az alapján látszik általában is, hogy

(4*k + 3)*3 = 4*(3*k + 2) + 1, illetve

(4*k + 1)*3 = 4*(3*k) + 3,

tehát váltakozni fog a 3-as és 1-es maradék (k egész).

Ha a párosadik hatványokhoz hozzáadunk egyet, akkor 4-gyel osztva kettő maradékot fognak adni. Ha pedig egy szám 4-gyel osztva 2 maradékot ad, akkor ő maga ohó kettővel:

4*k + 2 = 2*(2*k + 1),

viszont a fele, 2*k + 1, már páratlan, így csak egyszer lesz osztható kettővel.

A szorzatalakunkban pedig a (3 + 1)-től és (3 – 1)-től eltekintve minden tényező olyan, hogy (3^(2*k) + 1), tehát ezek 1-1 kettest adnak a prímtényezős felbontásba, a (3 + 1) az 2-t, a (3 – 1) megint csak egyet.

(Tényezőből pedig lesz olyan, amiben 3^(2^k) szerepel, k megy 0-tól 9-ig, ez 10 darab, meg még 1 a (3 – 1), ez 11 tényező, és ezek közül az egyik kettő kettest ad, tehát 12 lesz a végeredmény, de ezt csak a teljesség kedvéért, ha valaki más később nézi meg a kérdést, mert erre rájöttél.)