Ezt a feladatot hogyan oldanátok meg? Lim->0 (tan4x - 4x ) / x^3

A sec(t) az simán az 1/cos(t), szóval nem kell tőle megijedni, csak valamiért szeretnék elfelejteni néhányan. (Ugye egy derékszögű háromszög oldalai közül 6-féleképpen lehet kiválasztani sorrendben 2 különbözőt, ha a két befogót választod, abból lesz a tan és cot függvény, ha előbb választasz egy befogót, aztán az átfogót, abból lesz a sin és cos, ha pedig előbb az átfogót választod, abból lesz a sec és csc trigonometrikus függvény. Az utóbbi kettőt nagyon nem szeretik, az cot-ot csak kicsit nem szeretik.)

Szal a problémára térve, ha a tangens deriváltját tudod, akkor a tan(4*x) deriváltja a láncszabály alapján egyszerűen

tan'(4*x)*(4*x)' lesz.

(4*x)' = 4,

tan'(y)-t meg tudod elvileg, csak arra vigyázz, hogy az y helyére majd 4 x-et írj.

A másik lehetőség pedig igen, az az, amit mondasz a kommentben, hogy felírod a tangenst sin/cos-ként, és akkor vagy azt deriválod, vagy megpróbálod visszavezetni valahogy a sin(x)/x típusú határértékre.

De l'Hospital-szabállyal ki kell, hogy jöjjön mindenképpen. Csak ne ijedj meg az összetett függvény deriválásától.

De, azzal kell, csak azt kell tudni, hogy a szekáns a koszinusz reciproka, tehát sec(x)=1/cos(x). Ti úgy tanultátok, hogy tan(x)'=1/cos^2(x), de mivel 1/cos(x)=sec(x), ezért úgy is felírható, hogy sec^2(x).

A tan(4x)-et a láncszabállyal kell deriválni; először deriválod, mintha csak tan(x) lenne, utána megszorzod a benne lévő függvény deriváltjával:

-mintha csak tan(x) lenne: 1/cos^2(4x)

-a belső függvény deriváltja: (4x)'=4, ezzel szorzod:

1/cos^2(4x)*4=4/cos^2(4x) lesz a derivált.

Ezzel a tört így fog kinézni: (4/cos^2(4x)-4)/(3x^2), ami nagy szopás, mivel ismét 0/0 alakú lett a függvény, tehát újra deriválni kell. Sőt, még a következőt is deriválni kell, ekkor 6 lesz a nevezőben, úgy már nem lesz 0/0 alakú.

WolframAlpha a barátod, ha szeretnéd tudni a végeredményt:

[link]

64/3

Ja, és egy kis formaság; nem úgy írjuk, hogy lim->0, hanem lim (x->0).