Matekháziban valaki?

Kissé szabadabb értelmezésben:

pl. 502+503+505+506=2016

Minden számnak, amit felírtam, ott van az egyik szomszédja is. Nem volt szó a kérdésben arról, hogy csak 2 számról lehet szó.

Szerintem a szomszédosat úgy értette, hogy több szám is szomszédos lehet egymással, például 5;6;7, itt 3 szomszédos szám van.

Érdemes így eljárni; tegyük fel, hogy páratlan sok számból akarjuk felírni, ekkor legyen a középső szám x, ekkor a többi:

... ; x-2 ; x-1 ; x ; x+1 ; x+2 ; ...

Legyen az első tag x-k, az utolsó x+k:

x-k ; ... ; x-2 ; x-1 ; x ; x+1 ; x+2 ; ... ; x+k, csak hogy legyen eleje és vége a számsorunknak. Könnyen észrevehetjük, hogy a megfelelő tagokat összeadjuk, akkor az x-en kívüli tagok kioltják egymást, tehát a tagok összege így is felírható:

(x-k)+...+(x-2)+(x-1)+x+(x+1)+(x+2)+...+(x+k)=

=(x-k)+(x+k)+...+(x-2)+(x+2)+(x-1)+(x+1)+x=

=x+...+x+x+x, már csak az a kérdés, hogy ez hány x; x után k darab tag áll, x előtt szintén, az x is egy tag, tehát k+k+1=2k+1 számot adunk össze, tehát a végösszeg:

=(2k+1)*x, itt értelemszerűen k csak nemnegatív egész szám lehet.

Erről tudjuk, hogy 2016-tal egyenlő:

(2k+1)*x=2016, ebből x=2016/(2k+1), vagyis a számsorunk középső tagja 2016/(2k+1). Tudjuk, hogy x egész, ezért ennek a törtnek is egésznek kell lennie, ez pedig akkor lesz egész, hogyha 2k+1 osztója a 2016-nak. Szedjük össze 2016 osztóit; először felírjuk prímtényezős alakban:

2016|2

1008|2

504|2

252|2

126|2

63|3

21|3

7|7

1, tehát 2016=2*2*2*2*2*3*3*7= 2^5 * 3^2 * 7. Nekünk most egyelőre a páratlan osztókra van szükségünk; ezeket a fentiekből ki tudjuk olvasni: 1, 3, 7, 3*3=9, 3*7=21, 3^2 * 7=63, tehát ha páratlan sok szám összegeként akarjuk felírni a 2016-ot, akkor azt 1, 3, 7, 9, 21, és 63 darab számból tudjuk felírni, a fenti képlet pedig megadja, hogy mi lesz a számsorozat középső tagja, ha pedig k-t is meghatározzuk, akkor az első és az utolsó tagot is meg tudjuk adni;

-ha 2k+1=1, akkor k=0, a középső tagja 2016/1=2016, tehát a számsorozat: 2016 (triviális megoldás)

-ha 2k+1=3, akkor k=1, a középső tagja 2016/3=672, tehát a számsorozat: 672-1 ; 672 ; 672+1, vagyis 671;672;673.

-ha 2k+1=7, akkor k=3, a középső tag 2016/7=288, a fentiek alapján szerintem már te is meg tudod határozni, hogy milyen számokat kell összeadnunk. A többivel ugyanígy kell eljárnunk.

Ha páros sok tag összegeként akarjuk felírni, akkor ahogy a páratlannál felírtuk, felírjuk itt is így, de az utolsó tagot elhagyjuk, így a tagok:

x-k ; x-k+1 ; ... ; x-2 ; x-1 ; x ; x+1 ; x+2 ; x+k-1, és az x+k tagot elhagyjuk. Ebben a felírásban szintén lehet úgy párosítani, ahogy az előbb tettük meg, viszont az x-k tagnak nem lesz párja, így az összeget így írhatjuk fel:

(x-k+1)+(x+k-1)+...+(x-2)+(x+2)+(x-1)+(x+1)+x+(x-k)=

=x+...+x+x+x+(x-k)=x+...+x+x+x+x-k, már csak az a kérdés, hogy hány x van ebben az összegben; mivel az előbb 2k+1 számunk volt, és most egyet elhagytunk, ezért itt 2k darab szám lesz, így ugyanennyi x, vagyis:

(2k)*x-k lesz a számok összege, ennek 2016-nak kell lennie:

(2k)*x-k=2016

A bal oldalon ki tudunk emelni k-t:

k*(2x-1)=2016, vagyis 2x-1=2016/k

Mindegy, hogy x helyére mit írunk, a bal oldalon páratlan számot kapunk, ezért 2016/k-nak is páratlannak kell lennie, ez viszont csak úgy lehetséges, hogyha 2016/k 2016-nak páratlan osztójával egyenlő, tehát ezekkel kell egyenlővé tenni:

2016/k=1, vagyis 2016=k, ekkor 2x-1=1, tehát x=1. Ennyiből meg tudjuk határozni az első tagot, ami negatív lesz, de az nem jó nekünk.

Ugyanez alapján ki tudjuk k értékeit számolni, abból a hozzátartozó x-eket, és meg kell nézni, hogy az első tag pozitív-e vagy sem; ha negatív, akkor az a megoldás nem lesz jó (ugyanez igaz a páratlanoknál is, ha lesz ilyen); egyébként jó lenne, viszont a feladat megkötötte, hogy pozitív egészeket adjunk össze.

Ez volt a gondolkozós levezetés, ehhez semmilyen háttértudás nem szükséges (jó, összeadni, kivonni, szorozni meg osztani tudni kell hozzá, más nem nagyon). Ha viszont már tanultad a számtani sorozatok összegképletét, akkor így is eljárhatunk; a számok számtani sorozatot alkotnak; ha a legkisebb számot x-szel jelöljük (x>0 egész), akkor a(1)=x, a szomszédos tagok között 1 a különbség, tehát d=1, n tag esetén így felírhatjuk az összegképletet:

S(n)=(2*x+(n-1)*1)*n/2=(2*x+n-1)*n/2, ennek 2016-nak kell lennie:

(2*x+n-1)*n/2=2016, ezt most x-re rendezzük:

(2*x+n-1)*n=4032

2*x+n-1=4032/n

2*x=(4032/n)+1-n

A bal oldalon 2*x van, ami minden esetben páros, így a jobb oldalnak is párosnak kell lennie; meg kell vizsgálnunk, hogyha n paritása milyen, akkor a jobb oldal hogyan alakul. Az biztos, hogy akkor lesz egész a jobb oldal, hogyha n osztója 4032-nek, tehát csak 4032 osztóival kell foglalkoznunk a későbbiekben. "n" paritása szerint:

-ha n páratlan, akkor a tört értéke biztosan páros, az 1 páratlan, n páratlan, tehát páros+páratlan+páratlan, ez pedig biztosan páros. Tehát n lehet páratlan.

-ha n páros, akkor a tört értéke lehet páros és páratlan is, viszont (1-n) értéke biztosan páratlan, tehát a törtnek páratlannak kell lennie, tehát 4032/n értéke csak 4032 páratlan osztója lehet.

Tehát az esetszétválasztásnál, ha n páratlan, akkor n 4032-nek páratlan osztóival lesz egyenlő, ha n páros, akkor pedig 4032/n lesz egyenlő 4032 páratlan osztóival. Ezekre megkapjuk az n-eket és a hozzátartozó x-eket, és ahol x pozitív, az jó számsor lesz nekünk.

Szerintem mindent érthetően leírtam, és nem is hagytam ki semmit, de ha tévednék, akkor remélem, hogy vagy te, vagy a későbbi hozzászólók korrigálni fogják. Ha pedig valamit nem értesz, kérdezz bátran!