Hogyan lehet bizonyítani, hogy (n alatt a k) a négyzeten= (2n alatt az n)?

Kimaradt egy szumma az elejéről!

  n

  Σ  (n alatt k)² = (2n alatt n)

k=0

Többféleképpen bizonyítható, pl. így:

Válasszunk ki 2n tárgy közül n darabot. Ezt ugye (2n alatt n) féleképpen tudunk.

Ugyanennyit kapunk akkor is, ha a kiválasztást úgy csináljuk, hogy először két n darabos csoportra osztjuk a tárgyakat, aztán az egyik csoportból kiválasztunk k darabot, a másikból pedig n-k darabot. Így (n alatt k)(n alatt n-k) féle eredményünk lesz. Az összes lehetőséget úgy kapjuk, ha figyelembe vesszük, hogy az egyik csoportból 0-tól n-ig akárhány tárgyat is választhatunk, a többit pedig a másik csoportból. Vagyis ennyi lehetőség van:

  n

  Σ (n alatt k)(n alatt n-k)

k=0

Mivel (n alatt n-k) = (n alatt k), ez pont a bizonyítandó összefüggést adja.