Hogyan lehet bizonyítani, hogy (n alatt k) + (n alatt k+1) = (n+1 alatt a k+1)?

Felirod a definicioit:

n! / (k! * (n-k)!) + n! / ((k+1)! * (n-k-1)!)

Közös nevezőre hozod (úgy, hogy az első tagot k+1-gyel, a másodikat n-k-val szorzod):

= (k+1) * n! / ((k+1) * k! * (n-k)!) + (n-k) * n! * / ((k+1)! * (n-k-1)! * (n-k))

Ha megnézed, akkor a nevezőkben pont (k+1)! * (n-k)! van.

Összevonod:

= ((k+1) * n! + (n-k) * n!) / ((k+1)! * (n-k)!)

= (k+1+n-k) * n! / ((k+1)! * (n-k)!)

= (n+1) * n! / ((k+1)! * (n-k)!)

= (n+1)! / ((k+1)! * (n-k)!)

Ami a definició alapján pont n+1 alatt a k+1. (Már amikor értelmezve van, azaz n!=k)

Másik megközelítés:

Ha a Pascal-háromszöggel való kapcsolatot ismertnek tekintjük (bár én pont ebből bizonyítanám, szóval csak óvatosan...), akkor könnyne látható, hogy az n+1. sor k+1. eleme a definíció szerint az n. sor k. és k+1. elemének összege.