Hogyan adjuk meg az f (x) =3cos (3x-PI/2) +2 függvény inverzét, valamint az eredeti és az inverz függvény értelmezési tartományát és értékkészletét?

A függvény értelmezési tartománya R (x helyére bármilyen valós számot beírhatunk), de mivel periodikus, ezért ha egy értéket felvesz, akkor azt felveszi többször is, tehát nekünk szükségünk van egy intervallumra, amin minden értéket pontosan egyszer vesz fel. Tudjuk, hogy a cos(x) értékkészlete a [-1;1] intervallum, ez alapján a 3*cos(x)-é [-3;3], és ha még kettőt hozzáadunk, akkor [-1;5] lesz. Tudjuk, hogy a cos(x) függvény minimumtól maximumig vagy szigorúan monoton növő vagy fogyó, és a transzformációk ezen nem változtatnak, ezért elég csak azt kiszámolni, hogy hol veszi fel a minimumát és a maximumát:

3*cos(3x-pí/2)+2=-1

cos(3x-pí/2)=-1, erről tudjuk, hogy

3x-pí/2=pí+k*2pí

3x=3pí/2+k*2pí

x=pí/2+k*2pí/3, ahol k tetszőleges egész; ha k=0, akkor

x=pí/2.

Most a maximum:

3*cos(3x-pí/2)+2=5

cos(3x-pí/2)=1, ez akkor, ha

3x-pí/2=0+k*2pí

3x=pí/2+k*2pí

x=pí/6+k*2pí/3, ahol k tetszőleges egész; ha k=0, akkor

x=pí/6

Tehát a [pí/6 ; pí/2] intervallum jó lesz nekünk az inverz függvény értelmezési tartományaként (egyébként ha a megadottakban k ugyanaz, akkor az azokból képzett intervallumok mind jók lesznek, sőt, szűkíteni is lehet őket, de mi értelemszerűen a legbővebbet keressük).

Akkor most jöhet az inverz; tegyük egyenlővé a függvényt y-nal:

3*cos(3x-pí/2)+2=y, majd x-re kell rendeznünk:

cos(3x-pí/2)=(y-2)/3

3x-pí/2=arccos((y-2)/3)

x=(arccos((y-2)/3)+pí/2)/3

Ez lesz az f(x) függvény inverze.