Valaki segít egy kongruencia feladatban?

most =-vel jelölöm a kongruenciát

3x=4(7)

3x=4-7(7) (1)

3x=-3(7), LNKO(3,7)=1

x=-1(7) (2)

(1) Állítás: a=b(m) <=> a=b+k*m (m), ahol k eleme Z

(2) Tétel: ca=cb(m)<=>a=b ( m/LNKO(c,m) )

Tehát a válasz: x egyenlő 6+7*k, ahol k eleme Z

Míg írogattam a választ, megjelent egy teljesen jó, matematikailag kifogástalan válasz.

Az enyém „szájbarágós”. Viszont, a végén van egy egyszerű „megoldó-autamata” ismertetés.

a≡b (mod m) azt jelöli, hogy „a” és „b” egész számok „m” egész számmal való osztásakor ugyanannyi lesz a maradék.

Nagyon egyszerűen bemutatva: 18≡27 (mod 3) megvalósul, mert 18/3 maradéka 0, és 27/3 maradéka is 0, vagyis egyenlő a két maradék.

De 19≡28 (mod 3) is igaz, mert 19/3 maradéka 1, és 28/3 maradéka is 1; szintén egyenlők a maradékok.

Nem találtam áthúzott kongurencia karaktert, ezért a ≠ jelet használom:

20≠28 (mod 3) áll fenn, mert 20/3 maradéka 2, 28/3 maradéka 1; vagyis eltérnek a maradékok.

(Az is igaz, hogy (27-18)/3 esetén az eredmény egész szám, és (28-19)/3 esetén is egész szám az eredmény. (28-20)/3 esetén viszont nem egész szám az eredmény. Feladat megoldásoknál ezt is lehet alkalmazni.)

És akkor a feladat:

3*x≡4 (mod 7)

Olyan egész szám értékeket keresünk „x” helyére, amelyek 3-szorosát és a 4-et 7-tel osztva, azonos a maradék.

Ha 4-et 7-tel osztjuk, akkor 4 a maradék.

Ha a 7 egész számú többszöröseit (7, 14, 21, 28, 35, 42 stb.) 7-tel osztjuk, akkor a maradék 0.

Ha ezektől 4-gyel nagyobb számokat (11, 18, 25, 32, 39, 46 stb.) 7-tel osztjuk, a maradék 4 lesz. ← Ezért, ezek a számok …≡4 (mod 7) esetek.

De, a feladat szerint, 3-mal is oszthatóaknak kell lenniük. A példaként felsoroltak közül 18, 39 osztható 3-mal (számjegyeik összege osztható 3-mal.) Osszuk is el: 18/3=6, 39/3=13.

Ezek jók lesznek „x” helyére:

3*6≡4 (mod 7), mert 18/7 maradéka 4, és 4/7 maradéka is 4.

3*13≡4 (mod 7), mert 39/7 maradéka 4, és 4/7 maradéka is 7.

További „x” értékek megállapításához 46-tól tovább kell számolni 7-esével, és a 3-mal osztható számok harmada lesz további megfelelő „x” érték.

Excelben könnyen készíthető megoldás.

A1 mezőbe 11-et, a2-be 18-at kell írni; B1 mezőbe pedig a következő képletet: =HA(MARADÉK(A1;3)=0;A1/3;"")

Ezután a B1 mező jobb alsó sarkához húzott egérnél megjelenik a +, és le kell húzni B2 jobb alsó sarkáig (abban megjelenik a 6).

Ezután az egeret A1-ből B2-be húzva a 4 mező beszíneződik; B2 jobb alsó sarkához állva megjelenik a +, amit le kell húzni akármeddig.

A B oszlopban megjelennek az alkalmas „x” értékek.

(Ha nincs Excel, akkor a Google-táblázat is használható, csak ott a képletbe HA helyett IF kell, és MARADÉK helyett MOD.)