Hogyan tudom kiszámolni a háromszög szögét és oldalát ezekkel az adatokkal: T=320 a=32 b=43, γ, c=?

T = a * b * sin γ / 2

Ebből ki tudod számolni a γ szöget.

cos γ = (a^2 + b^2 - c^2) / 2*a*b

Ebből ki lehet fejezni a c oldalt.

Mivel csak a terület és két oldal ismert, ezért a c oldal és a γ szög is két értéket vehet fel.

Heron képletével lehet levezetni. Egyébként úgy képzeld el, mint egy trapézt, ahol a trapéz alapja a háromszög alapja, tehát a = 32, a trapéz magassága a háromszög "a" oldalához tartozó magassága: m = (2*T/a) = 20

A háromszög "b" oldala egyik esetben a trapéz egyik oldala, másik esetben a trapéz egyik átlója.

Megszerkesztve úgy néz ki, hogy megszerkeszted az a = 32 hosszúságú szakaszt. A szakasszal párhuzamost rajzolsz tőle 20 egységnyi távolságra. Az "a" oldal szakaszának egyik végébe helyezed a körzőt, 43 egységnyi körzőnyilásban, és egy körivet rajzolsz. A köriv 2 pontban metszi az "a" oldallal párhuzamos, tőle 20 egységnyire lévő egyenest. Ez a két pont a két lehetséges háromszög C csúcsa.

Levezetve Heron képletével:

T = gyök[s*(s-a)*(s-b)*(s-c)]

T^2 = s*(s-a)*(s-b)*(s-c)

ahol s a kerület fele, azaz:

s = (a+b+c)/2

behelyettesítve:

T^2 = [(a+b+c)/2]*[(b+c-a)/2]*[(a+c-b)/2]*[(a+b-c)/2]

T^2 = [(a+b+c)*(b+c-a)*(a+c-b)*(a+b-c)]/(2*2*2*2)

T^2 = [(a+b+c)*(b+c-a)*(a+c-b)*(a+b-c)]/16

16*T^2 = (a+b+c)*(b+c-a)*(a+c-b)*(a+b-c)

Vegyük észre a két képletet: (x+y)*(x-y) = x^2 - y^2

Kicsit átrendezve jobban látszik:

16*T^2 = (a+b+c)*[c-(a-b]*[c+(a-b)]*(a+b-c)

Még egy kicsit átrendezve:

16*T^2 = (a+b+c)*(a+b-c)*[c-(a-b]*[c+(a-b)]

A fent említett képlet alkalmazása után:

16*T^2 = [(a+b)^2 - c^2]*[c^2-(a-b)^2]

Kiszorzás után:

16*T^2 = [(a+b)^2]*c^2 - [(a+b)^2]*[(a-b)^2] - c^4 + c^2*[(a-b)^2]

16*T^2 = - c^4 + c^2*[(a+b)^2+(a-b)^2] - [(a+b)^2]*[(a-b)^2]

0 = - c^4 + c^2*[(a+b)^2+(a-b)^2] - [(a+b)^2]*[(a-b)^2] - 16*T^2

Szorozva -1 -el

0 = c^4 - c^2*[(a+b)^2+(a-b)^2] + [(a+b)^2]*[(a-b)^2] + 16*T^2

0 = A*c^4 + B*c + C, ahol

A = 1

B = -[(a+b)^2+(a-b)^2] = - [(32+43)^2+(32-43)^2] = 75^2+(-11)^2 = 5746

C = [(a+b)^2]*[(a-b)^2] + 16*T^2 = [(32+43)^2]*[(32-43)^2] + 16*320^2 = (75^2)*[(-11)^2] + 1638400 = 2319025

A c^2 gyökei:

1. [-B + gyök(B^2 - 4*A*C)]/(2*A) = [5746 + gyök(5746^2 - 4*1*2319025)]/(2*1) = 5309.2069 => c = gyök(5309.20688) = 72.8643

2. [-B - gyök(B^2 - 4*A*C)]/(2*A) = [5746 - gyök(5746^2 - 4*1*2319025)]/(2*1) = 436.7931 => c = gyök(436.7931) = 20.8996

A γ szöget ezután a koszinusz tételből lehet kiszámolni:

cos(γ) = (a^2 + b^2 - c^2)/(2*a*b)

cos(γ) = (32^2 + 43^2 - c^2)/(2*32*43)

1. esetben c = 72.8643

cos(γ) = (1024 + 1849 - 5309.2069)/2752 = -0.8852

γ = arccos(-0.8852) = 152.3°

2. esetben c = 20.8996

cos(γ) = (1024 + 1849 - 436.7931)/2752 = +0.8852

γ = arccos(+0.8852) = 27.7°

A két szög kiegészítő szögek, összegük 180°

0 = A*c^4 + B*c + C

javítás:

0 = A*c^4 + B*c^2 + C