Határozd meg az a és b nullától különböző egész számokat, úgyhogy az x^2+ (a^2+b^2) x+ab=0 egyenletnek egész gyökei legyenek! (? )

a=1 és b=1 esetén x=-1 és

a=-1 és b=-1 esetén is x=-1

egyelőre nem találok több megoldást, de még gondolkozom!

Ez mocsok nehéz, ember.

Ugye ez csak akkor lesz egész ha (a^2+b^2)^2−4ab=c^2 valamilyen c egészre (másodfokú egyenlet megoldóképlete). Másképpen írva, c=a^2+b^2-k valamilyen 0<k<a^2+b^2 k egészre. Hát akkor 4ab=(a^2+b^2)−c^2=(a^2+b^2)−(a^2+b^2−k)=k(2a^2+2b^2−k) . Ez utóbbi k-ban 0<k<a^2+b^2 egészekre monoton növekvő, ha ez nem látszik azonnal, akkor nézzd meg hogy egy x(p-x) parabola hol lesz növekvő és hol lesz csökkenő: -inf ... p/2 növekvő onnan csökkenő.

No most ha k>0 akkor k>=1, ahogy az előbb láttuk 4ab=k(2a^2+2b^2−k)>=2a^2+2b^2-1 átrendezve 2(a−b)^2−1<=0. Ez viszont egész számokra csak akkor igaz ha a=b, ekkor x^2+2a^2x+a^2=0 az egyenletünk, 4a^4-4a^2=4a^2(a^2-1) ami a^2>1-re nem lesz négyzetszám. (Két szomszédos négyzetszám különbsége (n+1)^2-n^2=2n+1, ha nem szomszédosak akkor még nagyobb a távolság.)

Tehát csak olyan egészek lehetnek a megoldások amire a=b és az abszolút értékük legfeljebb 1, ilyen az 1, a 0 és a -1 , más nem, a 0-t kizárta a feladat, tehát csak a=b=1 és a=b=-1 a lehetséges megoldások, amire x=-1.