Matek házimban? Sajnos nem iagzán értem.

1)

a)

A leghosszabb húr az átmérő.

A körlemez minden egyes pontján pontosan 1 átmérő halad át, kivéve a középpontot, ott végtelen.

Tehát a P ponton is áthalad egy átmérő, és ez lesz a rajta áthaladó húrok közül a leghosszabb: 2*5cm = 10cm

A legrövidebb már nehezebb. Szerintem a legrövidebbet úgy kapjuk meg, hogy behúzzuk azt a sugárt, ami átmegy a P-n. És erre a sugárra a P pontban merőlegest állítunk.

Ez a merőleges egyenes fogja meghatározni a legrövidebb húrt.

Ábra: [link]

Az OPQ szög merőleges.

Az OPQ háromszög derékszögű, ezért felírhatjuk a Pitagorasz tételt:

|OP|^2 + |PQ|^2 = |OQ|^2

3^2 + x^2 = 5^2

x^2 = 16

x = 4 cm

Tehát a legrövidebb, P-n áthaladó húr 8 cm hosszú.

Az első feladat megoldását már megkaptad, felesleges más formában leírnom.

② a)

Tehát a téglalap 2, egymással egyenlő, hosszabb oldalai az AB és CD szakaszok; rövidebb, szintén egymással egyenlő oldalai a BC és DA szakaszok.

Mértani középérték: a tényezőket összeszorozzuk, és a szorzat annyiadik gyökét vesszük, ahány szorzótényező van. Pl: 9 és 16 esetén négyzetgyök alatt 9*16, azaz négyzetgyök alatt 144, ami 12.

Az AB oldal két részre osztásánál az egyik szakasz hossza legyen x, a másiké y.

A mértani középértékük: √(x*y)

Ennek kell a rövidebb oldallal egyenlőnek lennie.

√(x*y) = AD ← mindkét oldalt négyzetre emelve:

x*y = AD²

Vagyis, a gyökjel alatt az AD oldal négyzetének kell szerepelnie, azaz a felosztással keletkező két szakasz hossza szorzatának a rövidebb oldal négyzetével kell egyeznie.

(Hogy el lehessen képzelni, például, egy 10*4 cm-es téglalap 10 cm-es oldalait, például 2 (=x) és 8 (=y) cm-re kell felosztani, mert √(2*8) = √16 = 4.)

Az x*y = AD²-ből az is következik, hogy, például: x = AD² / y

De van egy másik feltétel is: x+y=AB; azaz egy állandó érték.

Általában, egy adott téglalapnál ez azt jelenti, hogy sok lehetőség van; ahányszorosára nő az „y”, annyiad részére csökken az „x”; illetve, ahányszorosára nő az „x”, az „y”-nak annyiad részére kell csökkennie.)

(A fenti számpéldánál,

- ha „x” 2-szeresére nő: 2 * 2 = 4 lesz, emiatt „y” a felére csökken: 8/2=4 lesz, akkor 4*4 ugyanúgy 16 marad, csakhogy x+y=4+4, ami ≠10.

- ha „x” 1,5-szeresére nő: 2 * 1,5 = 3 lesz, emaitt „y” 1,5-ed részére csökken: 8 / 1,5 = 5,333333333333… lesz, akkor 3 * 5,333333333333…, ugyanúgy 16 marad, csakhogy 3 + 5,3333333333333… ≠ 10.

- ha „y” 1,125-szörösére nő, akkor 8 * 1,125 = 9 lesz. Emiatt „x”-nek 1,125-öd részére kell csökkennie: 2 / 1,125=1,777777777777.. lesz. A szorzatuk 9 * 1 ,777777777777… ugyanúgy 16 marad, csakhogy 1,77777777777…+ 9 ≠ 10.

- ha „x” a felére csökken, akkor 2 / 2 = 1 lesz. Emiatt „y”-nak 2-szeresére kell nőnie: 8 * 2 = 16 lesz. Szorzatuk 1 * 16 ugyanúgy 16 marad, csakhogy 1 + 16 ≠ 10.)

② b)

A „legkellemesebb” arány érdekében „x” és „y” értékének fordított arányban kell változnia: („v” legyen a „változtató), ugyanakkor, az AB-hossz állandósága miatt „x” és „y” összegének állandónak kéne maradnia.

x/v + y*v =? x + y

x + y*v²=? (x + y) * v

x + y*v²≠ x*v + y* v

illetve

x*v + y/v =? x + y

x*v² + y =? (x + y) * v

x*v² + y ≠ x*v + y*v

Egyenlőség csak akkor van, ha „v”=1, azaz, nincs változtatás.

Így, minden téglalapnak csak egyetlen „kellemes” felosztása van.

② c)

Azoknak a téglalapoknak nincs Bencekellemes felosztásuk, amelyeknél AD egyenlő AB felével, vagy nagyobb attól.

- ha AD = AB/2, akkor nem téglalapokra, hanem négyzetekre osztjuk a téglalapot;

- ha AD > AB/2, akkor x+y-nak nagyobbnak kéne lennie, mint AB.

② d)

Számtani átlag: a tagok összegét osztjuk a tagok darabszámával.

2 tag esetén a 2 tag összegét osztjuk 2-vel.

Tehát (az eddigi AB = x+y) felosztásnál, számtani átlag esetén: (x+y) / 2 = AD;

amiből következően:

x + y = 2 * AD

és mivel

x+y → az AB (hosszabb oldal)

így

AB = 2 * AD

Vagyis, csak azoknál a téglalapoknál lehet Döncikellemes megoldás, amelyeknél a hosszabb oldalak éppen 2-szer olyan hosszúak, mint a rövidebb oldalak. Csakhogy, ha ezeknél elvégezzük az ilyen arányú felosztást, akkor nem is téglalapokat, hanem négyzeteket kapunk.