Egyforma golyókat helyezünk el az asztalon háromszög alakban: az első sorban 1, alatta, hozzáillesztve 2; majd a következő sorban 3 stb?

a)

M e g o l d á s :

Tulajdonképpen számtani sorozatról van szó: a1=1 és d=1.

Ahogy rakjuk le a golyókat, egyre több lesz. Mikor lesz összesen 30? Ha a golyók (a számtani sorozat) összege 30 lesz.

Összeg = (a1+an) * (n/2)

Az an és n érteke nem ismert. De, an értéke meghatározható a1, n és d ismeretében:

an = a1 + (n-1)*d

Ha az összegképletben an helyére beírjuk ezt a formulát, akkor, ott, csak az n lesz ismeretlen, azaz kiszámolható:

Összeg = (a1 + a1 + (n-1)*d) * (n/2)

Az ismert értékeket behelyettesítve:

30 = (1 + 1 + (n-1)*1) *(n/2)

30 = (2 + n - 1) * (n/2)

30 = (1 + n) * (n/2)

30 = ((1 + n) * n) / 2

60 = ((1 + n) * n)

60 = n + n²

n² + n – 60 = 0

Másodfokú egyenlet megoldó képlettel:

n[1] = - 8,2621… (ez itt nem jó gyök)

n[2] = 7,2621… (ez jó gyök)

V á l a s z :

Tehát a 8. sorba kerül a 30. golyó.

E l l e n ő r z é s :

A sorozat 7. tagjának értéke: a7 = a1 + (n-1)*d = 1 + (7-1)*1 = 1 + 6 = 7

(Tulajdonképpen felesleges volt kiszámolni, hiszen a1=1 és d=1, olyan, mintha egyesével számolnánk.)

A sorozat első 7 tagjának összege: (a1+a7) * (n/2) = (1+7) * (7/2) = 8 * 3,5 = 28

A sorozat 8. tagjának értéke 8.

A sorozat első 8 tagjának összege: (a1+a8) * (n/2) = (1+8) * (8/2) = 9 * 4 = 36

Tehát, 7 sor lerakásával 28 golyó kerül elhelyezésre, 8 sor lerakásával pedig 36. A 30. golyó valóban a 8. sorban van. (Ott a 2.)

b)

M e g o l d á s :

Hanyadik sorban lesz 10 golyó?

A tizedikben. (1. sor: 1 golyó, 2. sor: 2 golyó, 3. sor 3 golyó … 10. sor: 10 golyó.)

Egyben, mivel az a 10. sor a „ferde” oldalak is 10-10 golyóból állnak.

És, összeg-képlettel kiszámolható, hogy hány golyó van:

Összeg = (a1+an) * (n/2)

Számokkal behelyettesítve:

Összeg = (1+10) * (10/2) = 11 * 5 = 55.

V á l a s z :

Az oldalanként 10 golyóból álló háromszöghöz 55 golyóra van szükség.

E l l e n ő r z é s :

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.