El tudnátok magyarázni hogy miért ott veszi fel az értékkészletet?

A sin(x) értékkészlete ugye [-1;1], ez remélem még megvan.

Na most gondold el, hogy az f függvény a sin(x) függvény háromszorosa, ami azt jelenti, hogy az x tengelyen a metszéspontok(zérushelyek) maradnak, y irányban viszont 3-szorosára nyúlik a függvény. Itt egy kép róla, halvánnyal a sin(x), vastaggal a 3*sin(x):

[link]

Namármost a sin(3x) hasonló, mint az előbb, csak itt y irányban maradnak az értékek, és x tengely mentén kell "összenyomni" a függvényt. Ezt vagy érzésből tudod, vagy behelyettesítgetéssel próbálod ábrázolni a függvényt. Mivel amikor sin(x)-et akarod ábrázolni, akkor ugye a nevezetes helyeken helyettesíted be a pontokat (0, 90°, 180°, 270°, 360° stb és ugyanígy negatív irányban is). De most sin(3x)-ről van szó, tehát ha ugyanezeket a nevezetes értékeket akarod megkapni, akkor az előbb zárójelben írt számokat mind el kell osztanod 3-mal, hogy megkapd az x értékeit. Például előbb sin(x) 90°-nál ugye 1-et vesz fel, akkor sin(3x) esetén sin(3*30°)-nál fogja, tehát 90° helyett már 30°-nál felveszi az 1-et. És így tovább a többi pontnál. Kép róla:

[link]

A rövid válasz: A sinus függvény értékkészlete [-1,1], és így mivel az f függvényben utólag szorzom 3-al, így [-3,3] lesz, míg a másiknál először az x-et szorzom 3-al, és az eredménynek veszem a sinusát, a sinus függvény pedig [-1,1] közötti értéket vesz fel.

A hosszabb válaszban elmagyarázom a sinusnak miért [-1,1] az értékkészlete. A sin x lényegében egy x hajlásszögű, egységhosszú vektor magasságát (avagy Y koordinátáját) adja meg. Ez az egyik megközelítése legalábbis :)

Egy x hajlásszögű, egységhosszú vektor lényegében azt jelenti, hogy veszel egy koordinátarendszert, a közepéből húzol egy 1 egység hosszú vonalat, úgy, hogy az X tengellyel x fokos szöget zár be. És ennek a vonalnak a vége az Y tengelyen sin x értéket vesz fel, vagyis, hogy milyen 'magas'. Úgy is nézheted, hogy az egység hozzú vonalat összekötöd az x tengellyel, és kapsz egy derékszögű háromszöget, aminek a függőleges befogója lesz a sin x, a vízszintes pedig a cos x. Ha ez megvan, lépjünk tova. Milyen X koordinátát vehet fel ez a vektor? Ha 90 fokos, tehát függőleges, akkor nyilván 1 egységnyi magasságot vesz fel az Y tengelyen. Ha ellenben 270°-os, akkor függőlegesen lefelé mutat, akkor nyilván -1 lesz. És e között minden értéket fel tud venni. Ez lesz a sin x értékkészlete :) Ezért [-1,1]