Hogy számoljuk ki?

A másodfokú függvény minimumhelyéről megadták, hogy az

–(–(m + 2)/(2*(m – 1))) = 2.

Ezt az egyenletet megoldjuk:

m + 2 = 4*(m – 1),

m = 1,

és kijön, hogy a megoldás az, hogy nincs ilyen m.

Tudjuk, hogy a

k*(x-u)^2+v alakú másodfokú kifejezés

-szélsőértékének helye u-nál van

-értéke v-nél van,

-milyensége k előjelétől függ (ha k negatív, akkor maximuma, ha pozitív, akkor minimuma van, 10 nem lehet).

Tehát nekünk a fenti kifejezést ilyen alakúvá kell átalakítanunk; teljes négyzetté kell alakítanunk:

-kiemelünk (m-1)-et: (m-1)*(x^2-[(m+2)/(m-1)]*x)+1

A második kerek zárójelen belül teljes négyzetté tudunk alakítani a tanultak alapján:

x^2-[(m+2)/(m-1)]*x=(x-(m+2)/(2(m-1)))^2-[(m+2)/(m-1)]^2

Tehát a kifejezés teljes négyzetes alakja:

(m-1)*((x-(m+2)/(2(m-1)))^2-[(m+2)/(m-1)]^2)+1

Kibontjuk a külső zárójelet:

(m-1)*(x-(m+2)/(2(m-1)))^2-(m+2)^2/(m-1)+1

Hogy látható legyen, hogy a fent leírt képletben mi micsoda:

k=m-1

u=(m+2)/(2(m-1))

v=-(m+2)^2/(m-1)+1

Hogyha azt szeretnénk, hogy ennek a függvénynek a minimuma x=2-nél legyen, akkor az

(m+2)/(2(m-1))=2

egyenletet kell megoldanunk:

m+2=4*(m-1)

m+2=4m-4

6=3m

2=m

Tehát hogyha m=2, akkor a függvénynek minimuma lesz 2-nél.

Ellenőrzés: ha m=2:

x^2-4x+1

Teljes négyzetes alakja: (x-2)^2-3, ennek a minimuma 2-nél van, tehát jól számoltunk.

Az ekvivalens átalakítások miatt több megoldás nincs.

Másik lehetőség, hogy tudjuk, hogy a függvény minimumhelye a gyökök átlagánál van, tehát kiszámoljuk a gyököket, az összegüket elosztjuk 2-vel, és az így kapott kifejezést 2-vel kell egyenlővé tenni.

(Harmadik lehetőség pedig a deriválás, de nem tudom, hogy te tudsz-e olyat.)

> „tehát kiszámoljuk a gyököket,”

Inkább az összegüket Viète-formulával, az gyorsabb.