Hogyan oldjam meg ezt az egyenletet? sin (x) +cos (-x) =1

Tudjuk, hogy cos(-x)=cos(x), mivel a koszinuszfüggvény páros, így az egyenlet:

sin(x)+cos(x)=1

Emeljük négyzetre mindkét oldalt (értelemszerűen nem tagonként emelünk a bal oldalon négyzetre, hanem az (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 képlet segítségével):

sin^2(x)+2*sin(x)*cos(x)+cos^2(x)=1

Tudjuk, hogy sin^2(x)+cos^2(x)=1, ezért

2*sin(x)*cos(x)+1=1, innen

sin(x)*cos(x)=0

Egy szorzat akkor 0, hogyha valamelyik tényezője 0, így

vagy sin(x)=0, erre x=0+k*pí, k tetszőleges egész

vagy cos(x)=0, erre x=pí/2+k*pí, k tetszőleges egész.

Viszont itt még le kell ellenőriznünk, hogy melyek jók, mivel a négyzetremeléssel hamisgyökök születhettek; elég csak [0; 2pí[ intervallumon megnézni, mivel úgyis periodikusak a megoldások.

Ha x=0: sin(0)+cos(-0)=0+1=1, ez jó, és persze 2pí-szerint vett megoldásai is.

Ha x=pí/2: sin(pí/2)+cos(-pí/2)=1+0=1, ez is jó, és a 2pí-s eltolás itt is igaz.

Ha x=pí: sin(pí)+cos(-pí)=-1+0=-1, ez már nem jó.

x=3pí/2 esetén: sin(3pí/2)+cos(-3pí/2)=0+(-1)=-1, ez sem nyerő.

Tehát a megoldáshalmaz így módosul:

vagy x=0+k*2pí, vagy x=pí/2+k*2pí, tetszőleges k egészre.

Első vagyok. Azért látszik ránézésre, mert vegyük az xy koordinátarendszert. Rajzoljunk meg az egységkört, majd ennek tetszés szerinti, x tengellyel alfa szöget bezáró sugarát is.

Definíció szerint a kör és a sugár metszéspontjának x tengelyre eső vetülete a koszinusz, az y-ra eső pedig a szinusz.

Mivel sin(alfa)+cos(alfa)=1 a feltétel, ez nyílván csak úgy lehet ha az egyik tag zérus. Ha uis. nem volna valamely tag zérus, akkor geometriailag adódóan a másik tag sem zérus.

Mivel sin(alfa) és cos(alfa) külön-külön kisebb egyenlő 1, de négyzetösszegük pontosan 1, minden alfa-ra, ezért általában sin(alfa)+cos(alfa)>1.

Vagyis csak 4 szélső hely lehetséges, 0°, 90°, 180°, 270°.

Utóbbi 2 értéknél nyílván -1 lesz az eredmény, így csak az első kettő marad. Ehhez még hozzávesszük a periódust, ebből már triviális, hogy:

x1=0°+K*360° és x2=90°+L*360°. Ahol K és L egész szám.

Remélem így már egyértelmű.

Persze megoldható úgy is, ahogy a 2. válaszoló csinálta, jó is az, viszont látjuk hogy geometriailag sokkal rövidebb idő alatt érünk célhoz.

Több dolog nem tiszta nekem ebben a levezetésben.

"Mivel sin(alfa)+cos(alfa)=1 a feltétel, ez nyílván csak úgy lehet ha az egyik tag zérus."

Nem tudom, ez mitől nyIlvánvaló... Miért ne lehetne, hogy mondjuk sin(x)=1/5 és cos(x)=4/5? De lehetne végtelen sok ilyet példának felhozni. Nyilvánvaló, hogy amit írtál, nem nyilvánvaló.

"Ha uis. nem volna valamely tag zérus, akkor geometriailag adódóan a másik tag sem zérus."

Ez igaz. És?

"Mivel sin(alfa) és cos(alfa) külön-külön kisebb egyenlő 1, de négyzetösszegük pontosan 1, minden alfa-ra, ezért általában sin(alfa)+cos(alfa)>1."

Kivéve, amikor nem. És mit értesz "általában" alatt?

A többi résszel nincs semmi bajom, esetleg annyi, hogy a végén nem váltottál át radiánra (az első hsz.-ben úgy adtad meg, szóval ez nem túl nagy hiba).

#5-nek:

Amit írok, teljesen logikus gondolatmenet, szerintem nem olvastad el alaposan, csak átfutottad. Nem tudom, nálatok hogy tanították a trigonometriát, de épp egy olyan témakörröl van szó, mely geometriailag is jól szemléltethető.

"Miért ne lehetne, hogy mondjuk sin(x)=1/5 és cos(x)=4/5? De lehetne végtelen sok ilyet példának felhozni. Nyilvánvaló, hogy amit írtál, nem nyilvánvaló."

-Azért nem lehet, mert akkor a négyzetösszegük nem 1! De ezt leírtam csak olvasni kéne...

"Ha uis. nem volna valamely tag zérus, akkor geometriailag adódóan a másik tag sem zérus."

"Ez igaz. És?"

-Itt a lényeg, ekkor az összeg nagyobb mint 1.

"Mivel sin(alfa) és cos(alfa) külön-külön kisebb egyenlő 1, de négyzetösszegük pontosan 1, minden alfa-ra, ezért általában sin(alfa)+cos(alfa)>1."

"Kivéve, amikor nem. És mit értesz "általában" alatt?"

-Akkor nem, amikor a szóbajöhető eseteket vizsgáljuk. Más esetben teljesül az egyenlőtlenség.

"A többi résszel nincs semmi bajom, esetleg annyi, hogy a végén nem váltottál át radiánra (az első hsz.-ben úgy adtad meg, szóval ez nem túl nagy hiba)."

Tök mindegy, h mibe van megadva, írhatnák újfokot, az eredményt nem módosítja.

Mellesleg más oldalról is vizsgálhatnánk a feladatot. Miután tudjuk, hogy sin és cos vetületei számítanak, így definiáljunk egy ún. távolságfüggvényt:

d(x,y)=|x1-x2|+|y1-y2|.

Matematikailag igazolható hogy ez teljesíti a metrika definícióját.

Legyen x1=y1=0, azaz az origótól mérünk távot, így

d(x,y)=|x|+|y|

Módosítsuk az eredeti megoldandó egyenletet

|sin(alfa)|+|cos(alfa|=1 alakúra!

Bizonyítható, hogy ezzel nem vesztünk el megoldást.

A bevezetett távolságfüggvény értelmében feladatunk vizsgálható az

|x|+|y|=1

alakban. Mivel |x|+|y|>1, ha x=/=0, vagy y=/=0, ezért az egyenlet csak x=0, vagy y=0 esetén teljesül, az előzőekben megbeszélt trigonometrikus pitagorasz tétel miatt.

Tehát egy másik szemléletmóddal is célhoz értünk.

Hát, én a logikus gondolatmenet alatt teljesen mást értek, de lehet, hogy ez csak az én hibám...

""Miért ne lehetne, hogy mondjuk sin(x)=1/5 és cos(x)=4/5? De lehetne végtelen sok ilyet példának felhozni. Nyilvánvaló, hogy amit írtál, nem nyilvánvaló."

-Azért nem lehet, mert akkor a négyzetösszegük nem 1! De ezt leírtam csak olvasni kéne..."

Ha valamire hivatkozni akarsz, akkor azt érdemesebb ok-okozati összefüggésben leírni, nem 5 sorral arrébb, aztán arra ráfogni, hogy "De ezt leírtam, csak olvasni kéne..." (lásd.: logika). Nem mellesleg, ha valaki nem járatos a témában, ilyen mélységekbe nem lát bele, és valószínűleg meg sem érti.

""Ha uis. nem volna valamely tag zérus, akkor geometriailag adódóan a másik tag sem zérus."

"Ez igaz. És?"

-Itt a lényeg, ekkor az összeg nagyobb mint 1."

És az miből derül ki, hogy az összegük nagyobb lesz, mint 1? Csak annyit lehet tudni, hogy x növelésével cos(-x)=cos(x) értéke csökken és sin(x)-é nő.

""Mivel sin(alfa) és cos(alfa) külön-külön kisebb egyenlő 1, de négyzetösszegük pontosan 1, minden alfa-ra, ezért általában sin(alfa)+cos(alfa)>1."

"Kivéve, amikor nem. És mit értesz "általában" alatt?"

-Akkor nem, amikor a szóbajöhető eseteket vizsgáljuk. Más esetben teljesül az egyenlőtlenség."

Várjál, ilyet én is tudok; a legnagyobb szám az 1.

Bizonyítás: vesszük a [-végtelen;1] mindkét oldalon zárt intervallumot. Az 1-nél nincs nagyobb, szóval az a legnagyobb. Problem solved.

Ja, hogy ha máshogy vizsgáljuk, akkor meg nem lesz igaz? Én általában végtelen sok intervallumot tudok mondani, hogy az 1 a legnagyobb, szóval általában az 1 a legnagyobb. Nem számít, hogy más esetben meg nem...

""A többi résszel nincs semmi bajom, esetleg annyi, hogy a végén nem váltottál át radiánra (az első hsz.-ben úgy adtad meg, szóval ez nem túl nagy hiba)."

Tök mindegy, h mibe van megadva, írhatnák újfokot, az eredményt nem módosítja."

Ezt pedig pont rosszul tudod; nem véletlenül vonnak le érettségin is azért pontot, hogy ha rossz alakban adod meg a végeredményt (és gondolom nem véletlenül lett úgy kitalálva, hogy több módon lehet megadni -> gyakorlati haszna van (látod, logika)). És ha az egyenletben x,y,... latin kisbetű van megadva, akkor illik radiánban megadni a végeredményt (még akkor is, hogy ha egyértelműen át lehet váltani egyiket a másikra).

Közben még egy dolognál érdemes megállni; a feladatban sin(x)+cos(-x)=1 van, te pedig következetesen sin(alpha)+cos(alpha) alakot írsz. Ha eltekintünk attól, hogy az eredetileg valós számok halmazán kérdezett feladatot te fokra váltottad át, a sin(alpha)+cos(-alphá)-ból hogyan lett/lesz sin(alpha)+cos(alpha)? Persze, triviális, hogy cos(x)=cos(-x), de gondolom ezt meg kellett volna említeni a levezetés során, de nálad ez sehol nem látszik. És ez az egy sor sokkal fontosabb a feladat megoldásánál, mint a szépen leírt meséd, mivel enélkül a kettőnek semmi köze egymáshoz.

Kérdezőnek: jó, hogyha egy problémára több megoldást is tudsz, de inkább tudj 1-et jól, mint sokat hiányokkal tele. Egyenletet (középszinten) algebrai módszerekkel mindig meg lehet oldani, ha pedig sin-cos is van a feladatban, akkor érdemes megjegyezni, hogy sin^2(x)+cos^2(x)=1, és valahogy úgy variálni, hogy ez megjelenjen.

"És az miből derül ki, hogy az összegük nagyobb lesz, mint 1? Csak annyit lehet tudni, hogy x növelésével cos(-x)=cos(x) értéke csökken és sin(x)-é nő."

-Triviális! Legyen uis. -1<=a<=1 és -1<=b<=1, a,b eleme R.

Ha tudjuk hogy a^2+b^2=1, akkor nyílvánvaló hogy |a|>=a^2 és |b|>=b^2. Ebből már következik, hogy |a|+|b|>=a^2+b^2, vagyis |a|+|b|>=1.

"Ezt pedig pont rosszul tudod; nem véletlenül vonnak le érettségin is azért pontot, hogy ha rossz alakban adod meg a végeredményt"

-Ezt nem tudom értelmezni. Ha jó a végeredmény, akkor teljesen mindegy, hogy milyen mértékegységben van megadva, ezért nem lehet pontot levonni, mert értelmét vesztené a feladat. Ha a feladatkitűzésben viszont megadják, hogy ők márpedig radiánba kérik, és a tisztelt érettségiző hallgató nem rad-ba adja meg, akkor le lehet vonni, egyébként nem!

"És ha az egyenletben x,y,... latin kisbetű van megadva, akkor illik radiánban megadni a végeredményt (még akkor is, hogy ha egyértelműen át lehet váltani egyiket a másikra)."

-Ekkora butaságot még életemben nem hallottam. Mi köze lenne az ismeretlen jelölésmódja és mértékegysége között?

Na látod, ez logikátlan.

Közben még egy dolognál érdemes megállni; a feladatban sin(x)+cos(-x)=1 van, te pedig következetesen sin(alpha)+cos(alpha) alakot írsz.

-Ilyen trivialitásokat, mint a cos fv. páros paritásának volta, a kérdezőnek ismernie kell. Nyílván a vizsgán tegye meg a hallgató ezen megállapítását. Viszont úgy gondolom, hogy itt ezen a fórumon nem az a cél, hogy én részletes levezetések és bizonyítások sorát adjam, mert akkor a megoldás kb. csak 10 oldal A4-es lapon férne el...

Mellesleg a feladatkiírás is elég pongyola. Ha korrekt módon írnánk ki a feladatot, akkor maga a probléma megfogalmazása is lényegesen hosszabb volna...

"Kérdezőnek: jó, hogyha egy problémára több megoldást is tudsz, de inkább tudj 1-et jól, mint sokat hiányokkal tele. Egyenletet (középszinten) algebrai módszerekkel mindig meg lehet oldani, ha pedig sin-cos is van a feladatban, akkor érdemes megjegyezni, hogy sin^2(x)+cos^2(x)=1, és valahogy úgy variálni, hogy ez megjelenjen."

-Jah... Középszint=bölcsöde...

Amúgy meg mit értesz "algebrai módszer" alatt... Na erről is lehetne vitázni.

Ember, te nagyon el vagy tájolva... Gondolod, hogy utolsó éves matematikushallgató, és úgy került hozzá ez a kérdés? Ha meg minden triviális, akkor minek válaszolsz a kérdésre? Elvégre a kérdező is tudja, hogy minden triviális, nem igaz?

Egyébként bárkit megkérdezhetsz; egyenletnél a latin betű a valós számok halmazát szokta jelenti (illetve a megfelelő körív hosszát), a görög betűk pedig mindig a szögeket. nem én találtam ki, ez így van.

Gondolom, még hírből sem tudod, hogy hogyan kell MEGÉRTETNI valakivel a matematikát; elhiszem én, hogy ilyen-olyan tótumfaktum vagy matematikai berkekben, de az "egyszerű" embereknek egyszerűen (legrosszabb esetben szájbarágósan) kell elmagyarázni a dolgokat. Attól függetlenül, hogy te úgy gondolod, hogy középszint=bölcsöde... Ja jól hiszem, te sem az integrálás megtanulásával kezdted az iskolát, vagy a Taylor-sorral.